Exercice 1 4867

Donner un exemple:

(a)

de fonction continue sur $[0; + \infty [$ ni minorée, ni majorée.
(b)

de fonction continue sur $] 0; + \infty [$ sans limite en $0$ ;
(c)

de fonction définie sur $ℝ$ continue en aucun point.
(d)

de fonction définie sur $ℝ$ continue en aucun point sauf $0$ .

Exercice 2 1779

Soit $f : ℝ \to ℝ$ telle que $f \circ f$ est croissante et $f \circ f \circ f$ strictement décroissante.

Étudier la monotonie de $f$ .

Exercice 3 6072 Correction

Étudier la parité de la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par

f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}

Solution

Remarquons que la fonction $f$ est correctement définie: le dénominateur ne s’annule pas. Pour $x \in ℝ$ , $- x \in ℝ$ et

f (- x) = \frac{e^{- x} - 1}{e^{- x} + 1}

On multiplie par $e^{x}$ au numérateur et au dénominateur

f (- x) = \frac{e^{x}}{e^{x}} \cdot \frac{e^{- x} - 1}{e^{- x} + 1} = \frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} = - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} = - f (x)

La fonction $f$ est impaire.

Exercice 4 1780

Étudier la parité de la fonction $f$ d’une variable réelle définie par

f (x) = \ln (\sqrt{x^{2} + 1} + x) .

Exercice 5 5026 Correction

Déterminer une fonction $f : ℝ \to ℝ$ telle que $f$ ne présente ni minimum ni maximum sur aucun intervalle $[a; b]$ avec $a < b \in ℝ$ .

Solution

Tout nombre décimal s’écrit

x = \frac{p}{10^{k}} avec p \in ℤ et k \in ℕ .

De plus, cette écriture est unique si l’on impose que $p$ n’est pas un multiple de $10$ .

Considérons alors la fonction $f$ définie par $f (x) = 0$ si $x$ n’est pas un nombre décimal et

f (x) = {(- 1)}^{p} (1 - \frac{1}{10^{k}})

si $x$ est un nombre décimal s’écrivant $p / 10^{k}$ avec $p \in ℤ$ qui n’est pas divisible par $10$ et $k \in ℕ$ .

Sur tout segment $[a; b]$ avec $a < b$ , la fonction $f$ prend ses valeurs dans $] - 1; 1 [$ et prend des valeurs arbitrairement proches de $1$ et de $- 1$ : elle n’y présente ni minimum ni maximum.

[<] Généralités sur les fonctions[>] Propriétés des limites

Exercice 6 4863

Étudier les limites suivantes:

(a)

${lim}_{x \to 0^{+}} (\frac{1}{x} + \ln (x))$
(b)

${lim}_{x \to 0^{+}} x^{\sqrt{x}}$
(c)

${lim}_{x \to 0^{+}} {| \ln (x) |}^{\frac{1}{\ln (x)}}$
(d)

${lim}_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$
(e)

${lim}_{x \to 0^{+}} x \sin (\ln (x))$
(f)

${lim}_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} ⌊ x ⌋$ .

Exercice 7 4862

Étudier¹¹ 1 Étudier une limite consiste à savoir si celle-ci existe et donner sa valeur si tel est le cas. les limites suivantes:

(a)

${lim}_{x \to + \infty} (3 x^{2} - e^{x})$
(b)

${lim}_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + x + 1}}{x + 1}$
(c)

${lim}_{x \to + \infty} x e^{- \sqrt{x}}$
(d)

${lim}_{x \to + \infty} \frac{x \cos (e^{x})}{x^{2} + 1}$
(e)

${lim}_{x \to + \infty} \frac{1}{x} ⌊ x ⌋$
(f)

${lim}_{x \to + \infty} (x^{2} + x \sin (x))$ .

Exercice 8 4864

Étudier les limites suivantes:

(a)

${lim}_{x \to 1^{+}} \ln (x) \ln (\ln (x))$
(b)

${lim}_{x \to π / 2} \frac{\sin (2 x)}{π - 2 x}$
(c)

${lim}_{x \to 1} \frac{x - 1}{\ln (x)}$ .

Exercice 9 4824

Lorsqu’elles existent, calculer les limites qui suivent:

(a)

${lim}_{x \mapsto + \infty} x^{\frac{1}{x}}$
(b)

${lim}_{x \to + \infty} {(\frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{\sqrt{\ln (x)}}}$
(c)

${lim}_{x \to 0^{+}} x^{x^{x}}$ .

Exercice 10 1784 Correction

Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent:

(a)

${lim}_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x}$
(b)

${lim}_{x \to + \infty} \frac{x - \sqrt{x}}{\ln (x) + x}$
(c)

${lim}_{x \to 0 +} x^{x}$
(d)

${lim}_{x \to 1 +} \ln (x) . \ln (\ln (x))$
(e)

${lim}_{x \to 0} {(1 + x)}^{1 / x}$
(f)

${lim}_{x \to 1} \frac{1 - x}{\arccos (x)}$

Solution

(a)

Quand $x \to 0$ ,

$\frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x} = \frac{1 + x - (1 - x)}{x (\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x})} = \frac{2}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}} \to 1 .$
(b)

Quand $x \to + \infty$ ,

$\frac{x - \sqrt{x}}{\ln (x) + x} = \frac{1 - 1 / \sqrt{x}}{\frac{\ln (x)}{x} + 1} \to 1 .$
(c)

Quand $x \to 0^{+}$ ,

$x^{x} = e^{x \ln (x)} = e^{X}$

avec $X = x \ln (x) \to 0$ donc $x^{x} \to 1$ .
(d)

Quand $x \to 1^{+}$ ,

$\ln (x) . \ln (\ln (x)) = X \ln (X)$

avec $X = \ln (x) \to 0$ donc $\ln (x) . \ln (\ln (x)) \to 0$
(e)

Quand $x \to 0$ ,

${(1 + x)}^{1 / x} = e^{\frac{1}{x} \ln (1 + x)} = e^{X}$

avec $X = \frac{\ln (1 + x)}{x} \to 1$ donc ${(1 + x)}^{1 / x} \to e$ .
(f)

Quand $x \to 1$ ,

$\frac{1 - x}{\arccos (x)} = \frac{1 - \cos (y)}{y} = \frac{2 \sin^{2} ((y) / 2)}{y} = \sin (y / 2) \frac{\sin (y / 2)}{y / 2}$

avec $y = \arccos (x) \to 0$ donc $\sin (y) / 2 \to 0$ et $\frac{\sin (y) / 2}{y / 2} \to 1$ puis $\frac{1 - x}{\arccos (x)} \to 0$ .

Exercice 11 1785 Correction

Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent:

(a)

${lim}_{x \to 0} x . \sin (\frac{1}{x})$
(b)

${lim}_{x \to + \infty} \frac{x \cos (e^{x})}{x^{2} + 1}$
(c)

${lim}_{x \to + \infty} e^{x - \sin (x)}$
(d)

${lim}_{x \to + \infty} \frac{x + \arctan (x)}{x}$
(e)

${lim}_{x \to 0} x ⌊ 1 / x ⌋$
(f)

${lim}_{x \to + \infty} x ⌊ 1 / x ⌋$

Solution

(a)

Quand $x \to 0$ ,

$| x \sin (\frac{1}{x}) | \leq | x | \to 0 .$
(b)

Quand $x \to + \infty$ ,

$| \frac{x \cos (e^{x})}{x^{2} + 1} | \leq \frac{x}{x^{2} + 1} \to 0 .$
(c)

Quand $x \to + \infty$ ,

$e^{x - \sin (x)} \geq e^{x - 1} \to + \infty .$
(d)

Quand $x \to + \infty$ ,

$| \frac{x + \arctan (x)}{x} - 1 | \leq \frac{\arctan (x)}{x} \leq \frac{π}{2 x} \to 0 .$
(e)

Quand $x \to 0$ ,

$1 / x - 1 \leq ⌊ 1 / x ⌋ \leq 1 / x$

donc

$| ⌊ 1 / x ⌋ - 1 / x | \leq 1$

puis

$| x ⌊ 1 / x ⌋ - 1 | \leq | x | \to 0 .$
(f)

Quand $x \to + \infty$ , $1 / x \to 0$ donc $⌊ 1 / x ⌋ = 0$ puis $x ⌊ 1 / x ⌋ = 0 \to 0$ .

Exercice 12 1786 Correction

Déterminer les limites suivantes:

(a)

${lim}_{x \to 0 +} ⌊ 1 / x ⌋$
(b)

${lim}_{x \to 0} x ⌊ 1 / x ⌋$
(c)

${lim}_{x \to 0} x^{2} ⌊ 1 / x ⌋$

Solution

(a)

Quand $x \to 0^{+}$ ,

$E ⌊ 1 / x ⌋ \geq \frac{1}{x} - 1 \to + \infty .$
(b)

Quand $x \to 0^{+}$ ,

$1 / x - 1 \leq ⌊ 1 / x ⌋ \leq 1 / x$

donne

$1 - x \leq x ⌊ 1 / x ⌋ \leq 1$

puis $x ⌊ 1 / x ⌋ \to 1$ .
Quand $x \to 0^{-}$ ,

$1 / x - 1 \leq ⌊ 1 / x ⌋ \leq 1 / x$

donne

$1 \leq ⌊ 1 / x ⌋ \leq 1 - x$

puis à nouveau $x ⌊ 1 / x ⌋ \to 1$ .
(c)

Quand $x \to 0^{+}$ ,

$| x^{2} ⌊ 1 / x ⌋ | \leq \frac{x^{2}}{x} \to 0$

via

$0 \leq ⌊ 1 / x ⌋ \leq 1 / x$

et quand $x \to 0^{-}$ ,

$| x^{2} ⌊ 1 / x ⌋ | \leq x^{2} (1 - \frac{1}{x}) \to 0$

via

$\frac{1}{x} - 1 \leq ⌊ 1 / x ⌋ \leq 0 .$

Exercice 13 5639 Correction

Soit $x \in ℝ$ . Étudier

lim_{n \to + \infty} lim_{m \to + \infty} {(\cos (π n! x))}^{2 m} .

Solution

Cas: $x \in ℚ$ . Il existe $p \in ℕ^{*}$ tel que $p x \in ℤ$ . Pour $n \geq p$ , $2 π n! x \in π ℤ$ et alors

\forall m \in ℕ, {(\cos (2 π n! x))}^{2 m} = 1^{m} = 1

On en déduit

lim_{n \to + \infty} lim_{m \to + \infty} {(\cos (2 π n! x))}^{2 m} = lim_{n \to + \infty} 1 = 1 .

Cas: $x \in ℚ$ . Pour tout $n \in ℕ^{*}$ , $2 π n! x \notin π ℤ$ et donc $\cos (π n! x) \in] - 1; 1 [$ . On a alors

lim_{m \to + \infty} {(\cos (π n! x))}^{2 m} = 0

puis

lim_{n \to + \infty} lim_{m \to + \infty} {(\cos (2 π n! x))}^{2 m} = lim_{n \to + \infty} 0 = 0 .

Exercice 14 2996 MINES (MP)Correction

Soient $c > 1$ et $f : ℝ_{+}^{*} \to ℝ_{+}^{*}$ croissante vérifiant

lim_{x \to + \infty} \frac{f (c x)}{f (x)} = 1 .

(a)

Donner un exemple de fonction $f$ non triviale vérifiant cette hypothèse.
(b)

Montrer que pour tout $d > 0$

$lim_{x \to + \infty} \frac{f (d x)}{f (x)} = 1 .$

Solution

(a)

La fonction $x \mapsto \ln (1 + x)$ convient.
(b)

Par récurrence, montrons que pour tout $n \in ℕ$

$lim_{x \to + \infty} \frac{f (c^{n} x)}{f (x)} = 1 .$

La propriété est immédiate au rang $n = 0$ .

Supposons la propriété vraie au rang $n \geq 0$ .

On écrit

$\frac{f (c^{n + 1} x)}{f (x)} = \frac{f (c^{n + 1} x)}{f (c^{n} x)} \cdot \frac{f (c^{n} x)}{f (x)} .$

Par produit de limites,

$lim_{x \to + \infty} \frac{f (c^{n + 1} x)}{f (x)} = 1 .$

La récurrence est établie.

Soit $d > 0$ .

Cas: $d \geq 1$ . Il existe $n \in ℕ$ tel que $1 \leq d \leq c^{n}$ . Par croissance de $f$ ,

$\forall x > 0, f (x) \leq f (d x) \leq f (c^{n} x)$

et donc

$\forall x > 0, 1 \leq \frac{f (d x)}{f (x)} \leq \frac{f (c^{n} x)}{f (x)} .$

Par encadrement,

$lim_{x \to + \infty} \frac{f (d x)}{f (x)} = 1 .$

Cas: $d < 1$ . On écrit

$\frac{f (d x)}{f (x)} = {(\frac{f (x)}{f (d x)})}^{- 1} = {(\frac{f (d^{'} y)}{y})}^{- 1}$

avec $d^{'} = 1 / d > 1$ et $y = d x$ . Par opérations sur les limites,

$lim_{x \to + \infty} \frac{f (d x)}{f (x)} = 1 .$

[<] Calcul de limites[>] Définitions quantifiées des limites

Exercice 15 4861

Soit $f : [0; + \infty [\to ℝ$ une fonction strictement croissante de limite $ℓ \in ℝ$ en $+ \infty$ .

Montrer que la valeur $f (x)$ est strictement inférieure à $ℓ$ pour tout $x \in [0; + \infty [$ .

Exercice 16 1788

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction périodique admettant une limite en $+ \infty$ .

Que peut-on dire de la fonction $f$ ?

Exercice 17 1789 Correction

(a)

Soit $g : ℝ \to ℝ$ une fonction périodique admettant une limite en $+ \infty$ . Montrer que $g$ est constante.
(b)

Soient $f, g : ℝ \to ℝ$ telles que $f$ admettant une limite en $+ \infty$ , $g$ périodique et $f + g$ croissante.

Montrer que $g$ est constante.

Solution

Notons $T$ une période strictement positive de $g$ .

(a)

Notons $ℓ$ la limite de $g$ en $+ \infty$ . Pour tout $x \in ℝ$ ,

$g (x) = g (x + n T) \to_{n \to + \infty}^{} ℓ .$

Par unicité de la limite, $g (x) = ℓ$ . Ainsi, la fonction $g$ est constante.
(b)

Notons $ℓ$ la limite de $f$ en $+ \infty$ . Puisque $f + g$ est croissante

$f + g \to_{+ \infty}^{} ℓ^{'} \in ℝ \cup {+ \infty} .$

Si $ℓ^{'} = + \infty$ alors $g \to_{x \to + \infty}^{} + \infty$ . La démarche du (a), montre l’impossibilité de cela.

Si $ℓ^{'} \in ℝ$ alors la démarche du (a)., permet de conclure.

Exercice 18 1787 Correction

Soient $a < b \in \bar{ℝ}$ et $f :] a; b [\to ℝ$ une fonction croissante.
Montrer que l’application $x \mapsto {lim}_{x^{+}} f$ est croissante.

Solution

L’application $x \mapsto {lim}_{x^{+}} f$ est bien définie car $f$ est croissante ce qui assure l’existence de ${lim}_{x^{+}} f$ .
Soient $x, y \in] a; b [$ tels que $x < y$ .
Pour $t \in] x; y [$ , on a $f (t) \leq f (y)$ . Quand $t \to x^{+}$ , on obtient ${lim}_{x^{+}} f \leq f (y)$ or $f (y) \leq {lim}_{y^{+}} f$ donc ${lim}_{x^{+}} f \leq {lim}_{y^{+}} f$ .

Exercice 19 5931 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction.

On suppose que $f$ tend vers $+ \infty$ en $+ \infty$ et vers $- \infty$ en $- \infty$ .

Montrer que pour tout $[a; b] \subset ℝ$ , $f^{- 1} ([a; b])$ est une partie bornée de $ℝ$ .

Solution

Soit $[a; b] \subset ℝ$ .

Par la définition quantifiée des limites en $+ \infty$ et $- \infty$ , il existe $A, A^{'} \in ℝ$ tels que

\forall x \in ℝ, x \geq A ⟹ f (x) > b et \forall x \in ℝ, x \leq A^{'} ⟹ f (x) < a .

Par contraposition,

\forall x \in ℝ, f (x) \in [a; b] ⟹ x \in [A^{'}; A] .

Ainsi, $f^{- 1} ([a; b]) \subset [A^{'}; A]$ et c’est donc une partie bornée.

Exercice 20 4868

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction. Montrer qu’il y a équivalence entre:

(i) $| f |$ tend vers $+ \infty$ en $+ \infty$ et $- \infty$ ;

(ii) l’image réciproque¹¹ 1 Rappelons que l’image réciproque d’une partie par une application est constituée de l’ensemble des antécédents éventuels des éléments de la partie par cette application. par $f$ d’une partie bornée de $ℝ$ est une partie bornée.

[<] Propriétés des limites[>] Étude de continuité

Exercice 21 5453 Correction

Soit $f : [0; + \infty [\to ℝ$ une fonction bornée vérifiant

f (2 x) - f (x) \to_{x \to + \infty}^{} ℓ \in ℝ .

Montrer $ℓ = 0$ .

Solution

Par l’absurde, supposons $ℓ \neq 0$ et, quitte à considérer $- f$ , supposons $ℓ > 0$ .

Pour $ε = ℓ / 2 > 0$ , il existe $A \in [0; + \infty [$ tel que

\forall x \in [0; + \infty [, x \geq A ⟹ | f (2 x) - f (x) - ℓ | \leq ε .

On a donc

\forall x \geq A, f (2 x) \geq \frac{1}{2} ℓ + f (x) .

En particulier, cela vaut pour $x = A,2 A,4 A, \dots$

	$f (2 A)$	$\geq \frac{1}{2} ℓ + f (A)$
	$f (4 A)$	$\geq \frac{1}{2} ℓ + f (2 A)$
	$f (8 A)$	$\geq \frac{1}{2} ℓ + f (4 A) .$

En sommant ces identités, on obtient par récurrence

\forall n \in ℕ, f (2^{n} A) \geq \frac{n}{2} + f (A) .

Ainsi,

f (2^{n} A) \to_{n \to + \infty}^{} + \infty

ce qui contredit l’hypothèse assurant que $f$ est bornée.

Exercice 22 227 Correction

Soit $f : ℝ_{+} \to ℝ$ une fonction continue.
On suppose que ${lim}_{x \to + \infty} f (x) = ℓ \in ℝ$ et l’on désire établir

lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (t) d t = ℓ .

(a)

Pour $ε > 0$ , justifier qu’il existe $A \in ℝ_{+}$ tel que pour tout $x \geq A$

$| \frac{1}{x} \int_{A}^{x} (f (t) - ℓ) d t | \leq ε .$
(b)

Conclure en écrivant

$\frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (t) d t - ℓ = \frac{1}{x} \int_{0}^{A} (f (t) - ℓ) d t + \frac{1}{x} \int_{A}^{x} (f (t) - ℓ) d t .$

Solution

(a)

Soit $ε > 0$ , puisque $f (x) \to_{x \to + \infty}^{} ℓ$ , il existe $A \in ℝ_{+}$ tel que

$\forall x \geq A, | f (x) - ℓ | \leq ε .$

Pour $x \geq A$ et pour tout $t \in [A; x]$ , $| f (t) - ℓ | \leq ε$ donc

$| \frac{1}{x} \int_{A}^{x} (f (t) - ℓ) d t | \leq \frac{1}{x} \int_{A}^{x} | f (t) - ℓ | d t \leq \frac{x - A}{x} ε \leq ε .$
(b)

On peut écrire

$\frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (t) d t - ℓ = \frac{1}{x} \int_{0}^{x} (f (t) - ℓ) d t = \frac{1}{x} \int_{0}^{A} (f (t) - ℓ) d t + \frac{1}{x} \int_{A}^{x} (f (t) - ℓ) d t .$

Quand $x \to + \infty$ ,

$\frac{1}{x} \int_{0}^{A} (f (t) - ℓ) d t = \frac{C^{t e}}{x} \to 0$

donc il existe $A^{'} \in ℝ_{+}$ tel que

$x \geq A^{'} ⟹ | \frac{1}{x} \int_{0}^{A} (f (t) - ℓ) d t | \leq ε$

et alors pour $A^{''} = \max (A, A^{'})$ , on a

$x \geq A^{''} ⟹ | \frac{1}{x} \int_{0}^{x} (f (t) - ℓ) d t | \leq 2 ε .$

Exercice 23 230 ENS Cachan (MP)Correction

Soit $f : [0; + \infty [\to ℝ$ de classe $𝒞^{1}$ telle que

lim_{t \to + \infty} (f (t) + f^{'} (t)) = ℓ \in ℝ .

Montrer que

f (t) \to_{t \to + \infty}^{} ℓ .

Solution

Cas: $ℓ = 0$ . On remarque que ${(f (t) e^{t})}^{'} = (f (t) + f^{'} (t)) e^{t}$ donc

f (x) e^{x} = f (0) + \int_{0}^{x} (f (t) + f^{'} (t)) e^{t} d t

puis

f (x) = f (0) e^{- x} + \int_{0}^{x} (f (t) + f^{'} (t)) e^{t - x} d t .

Il reste à montrer

\int_{0}^{x} (f (t) + f^{'} (t)) e^{t - x} d t \to_{x \to + \infty}^{} 0 .

Pour $ε > 0$ , il existe $A \in ℝ_{+}$ , pour $t \geq A$ ,

| f (t) + f^{'} (t) | \leq ε .

On a alors

| \int_{A}^{x} (f (t) + f^{'} (t)) e^{t - x} d t | \leq ε

| \int_{0}^{A} (f (t) + f^{'} (t)) e^{t - x} d t | \leq e^{A - x} \int_{0}^{A} | f (t) + f^{'} (t) | d t \to_{x \to + \infty}^{} 0 .

Ainsi pour $x$ assez grand,

| \int_{0}^{x} (f (t) + f^{'} (t)) e^{t - x} d t | \leq 2 ε .

Finalement,

f (x) \to_{x \to + \infty}^{} 0 .

Cas général: Il suffit de considérer $g : x \mapsto f (x) - ℓ$ .

Exercice 24 228

Soit $f : [0; + \infty [\to ℝ$ une fonction continue vérifiant

f (x + 1) - f (x) \to_{x \to + \infty}^{} ℓ \in ℝ .

Montrer

\frac{f (x)}{x} \to_{x \to + \infty}^{} ℓ .

Exercice 25 5426 MINES (MP)Correction

Soit $f : ℝ_{+} \to ℝ$ une fonction continue vérifiant

\forall x > 0, f (n x) \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Montrer que $f$ est de limite nulle en $+ \infty$ .

Solution

Par l’absurde, supposons que $f$ ne soit pas de limite nulle. Il existe $ε > 0$ tel que

\forall A \in ℝ_{+}, \exists x_{0} \geq A, | f (x_{0}) | > ε .

On va construire par récurrence une suite réelle $(a_{k})$ croissante, une suite réelle $(b_{k})$ décroissante et une suite d’entiers $(n_{k})$ strictement croissante telles que

\forall k \in ℕ, a_{k} < b_{k} et \forall x \in] a_{k}; b_{k} [, | f (n_{k} x) | > ε / 2 .

Pour $A = 0$ , il existe $x_{0} \geq 0$ tel que $| f (x_{0}) | > ε$ . Par continuité de $f$ en $x_{0}$ , il existe $a < b$ tel que $| f (x) | > ε / 2$ pour tout $x \in] a; b [$ . On pose alors

(a_{0}, b_{0}) = (a, b) et n_{0} = 1 .

Supposons les termes $a_{k}, b_{k}$ et $n_{k}$ déterminés comme voulu. Pour $n$ assez grand, $n (b_{k} - a_{k}) > 1$ et la réunion

⋃_{n > n_{k}}] n a_{k}; n b_{k} [

contient un intervalle de la forme $[A; + \infty [$ . Il existe alors un entier $n_{k + 1} > n_{k}$ et un réel $x_{0} \in] n_{k + 1} a_{k}; n_{k + 1} b_{k} [$ tel que $| f (x_{0}) | > ε$ . Par continuité de $f$ en $x_{0}$ , il existe $a_{k + 1} < b_{k + 1}$ tels que

] n_{k + 1} a_{k + 1}; n_{k + 1} b_{k + 1} [\subset] n_{k + 1} a_{k}; n_{k + 1} b_{k} [

\forall x \in] n_{k + 1} a_{k + 1}; n_{k + 1} b_{k + 1} [, | f (x) | \geq ε / 2 .

Autrement dit,

] a_{k + 1}; b_{k + 1} [\subset] a_{k}; b_{k} [et \forall x \in] a_{k + 1}; b_{k + 1} [, | f (n_{k + 1} x) | \geq ε / 2 .

On détermine ainsi, $a_{k + 1}$ , $b_{k + 1}$ et $n_{k + 1}$ convenables.

On peut alors contredire l’hypothèse de départ. La suite $(a_{k})$ est strictement croissante et majorée, elle possède donc une limite $x > 0$ et celle-ci vérifie

\forall k \in ℕ, x \in] a_{k}; b_{k} [

donc

\forall k \in ℕ, | f (n_{k} x) | \geq ε / 2 .

La suite $(f (n x))$ n’est alors pas de limite nulle. C’est absurde!

[<] Définitions quantifiées des limites[>] Théorème des valeurs intérmédiaires

Exercice 26 4865

Étudier la continuité de la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par

f (x) = {\begin{matrix} x^{2} & si x \geq 0 \\ - x^{2} & si x < 0 . \end{matrix}

Exercice 27 1793 Correction

Étudier la continuité sur $ℝ$ de l’application

f : x \mapsto ⌊ x ⌋ + \sqrt{x - ⌊ x ⌋} .

Solution

Par opération $f$ est continue sur chaque $I_{k} =] k; k + 1 [$ avec $k \in ℤ$ . Il reste à étudier la continuité en $a \in ℤ$ .

Quand $x \to a^{+}$ ,

f (x) = ⌊ x ⌋ + \sqrt{x - ⌊ x ⌋} \to a = f (a)

car $⌊ x ⌋ \to a$ .

Quand $x \to a^{-}$ ,

f (x) = ⌊ x ⌋ + \sqrt{x - ⌊ x ⌋} \to a - 1 + 1 = a = f (a)

car $⌊ x ⌋ \to a - 1$ .

Par continuité à droite et à gauche, $f$ est continue en $a$ .

Finalement, $f$ est continue sur $ℝ$ .

Exercice 28 1794

Étudier la continuité de

f : x \mapsto ⌊ x ⌋ + {(x - ⌊ x ⌋)}^{2} .

Exercice 29 1795 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ définie par

f (x) = {\begin{matrix} 1 & si x \in ℚ \\ 0 & sinon. \end{matrix}

Montrer que $f$ est totalement discontinue.

Solution

Soit $a \in ℝ$ .
Il existe une suite $(u_{n})$ de nombre rationnels et une suite $(v_{n})$ de nombres irrationnels telles que $u_{n}, v_{n} \to a$ .
On a $f (u_{n}) = 1 \to 1$ et $f (v_{n}) = 0 \to 0$ donc $f$ n’a pas de limite en $a$ et est donc discontinue en $a$ .

Exercice 30 1796

Soit $f : ℝ_{+}^{*} \to ℝ$ une fonction telle que $x \mapsto f (x)$ est croissante et $x \mapsto \frac{f (x)}{x}$ décroissante. Montrer que $f$ est continue.

Exercice 31 1797

(a)

Soient $f : I \to ℝ$ et $g : I \to ℝ$ deux fonctions continues. Montrer la continuité de la fonction $sup (f, g)$ définie sur $I$ par

$sup (f, g) (x) = \max (f (x), g (x)) .$
(b)

Soient $f : I \to ℝ$ , $g : I \to ℝ$ et $h : I \to ℝ$ trois fonctions continues. Montrer la continuité de la fonction qui à $x \in I$ associe la valeur, parmi $f (x), g (x), h (x)$ , qui est comprise entre les deux autres.

Exercice 32 240

Étudier la continuité de la fonction $f : [0; + \infty [\to ℝ$ définie par

f (x) = sup {\frac{x^{n}}{n!} | n \in ℕ} .

[<] Étude de continuité[>] Existence de points fixes

Exercice 33 1803 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ continue telle que ${lim}_{- \infty} f = - 1$ et ${lim}_{+ \infty} f = 1$ . Montrer que $f$ s’annule.

Solution

Puisque ${lim}_{- \infty} f = - 1$ , $f$ prend des valeurs négatives, puisque ${lim}_{+ \infty} f = 1$ , $f$ prend des valeurs positives.
En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires entre celles-ci, $f$ s’annule.

Exercice 34 4866

Soient $f, g : [a; b] \to ℝ$ deux fonctions continues vérifiant

(g (a) - f (a)) (g (b) - f (b)) \leq 0 .

(1)

Montrer qu’il existe $x$ dans $[a; b]$ tel que $f (x) = g (x)$ .

Exercice 35 4869

Soit $f$ une fonction réelle, définie et continue sur un intervalle $I$ .

On suppose que $f$ n’est ni minorée, ni majorée. Montrer que $f$ est surjective¹¹ 1 Il s’agit d’établir que $f$ prend toutes valeurs réelles: $f (I) = ℝ$ ..

Exercice 36 1801 Correction

Montrer que les seules applications continues de $ℝ$ vers $ℤ$ sont les fonctions constantes.

Solution

Soit $f : ℝ \to ℤ$ continue.
Par l’absurde: Si $f$ n’est pas constante alors il existe $a < b$ tel que $f (a) \neq f (b)$ .
Soit $y$ un nombre non entier compris entre $f (a)$ et $f (b)$ .
Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $x \in ℝ$ tel que $y = f (x)$ et donc $f$ n’est pas à valeurs entière. Absurde.

Exercice 37 5069

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction continue. On suppose qu’il existe un polynôme réel $P$ non constant tel que $P (f (x)) \in ℚ$ pour tout $x \in ℝ$ . Que peut-on dire de $f$ ?

Exercice 38 4870

(Théorème des valeurs intermédiaires généralisé¹¹ 1 On peut proposer et établir de la même façon que, si $f :] a; b [\to R$ est une fonction (avec $a < b$ réels ou infinis) possédant des limites finies ou infinies en $a$ et en $b$ , celle-ci prend toutes les valeurs strictement comprises entre ces deux limites.)

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction continue possédant des limites $ℓ$ et $ℓ^{'}$ (finies ou infinies) en $- \infty$ et en $+ \infty$ . Montrer que toute valeur strictement comprise entre $ℓ$ et $ℓ^{'}$ est une valeur prise par $f$ .

Exercice 39 5263

Montrer que tout polynôme réel de degré impair admet au moins une racine réelle.

Exercice 40 1804 Correction

Soient $f : I \to ℝ$ et $g : I \to ℝ$ deux fonctions continues telles que

\forall x \in I, | f (x) | = | g (x) | \neq 0 .

Montrer que $f = g ou f = - g$ .

Solution

Posons $φ : I \to ℝ$ définie par

φ (x) = f (x) / g (x)

$φ$ est continue et

\forall x \in I, | φ (x) | = 1 .

Montrons que $φ$ est constante égale à 1 ou $- 1$ ce qui permet de conclure.
Par l’absurde, si $φ$ n’est pas constante égale à 1 ni à $- 1$ alors il existe $a, b \in I$ tel que $φ (a) = 1 \geq 0$ et $φ (b) = - 1 \leq 0$ . Par le théorème des valeurs intermédiaires, $φ$ s’annule. Absurde.

Exercice 41 6003 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction continue vérifiant

f (0) > 0 et \forall x \in ℝ, {(f (x))}^{2} + 2 x f (x) - 1 = 0 .

Déterminer $f$ .

Solution

Pour tout $x \in ℝ$ , $f (x)$ est solution de l’équation $r^{2} + 2 x r - 1 = 0$ de discriminant $Δ = 4 (x^{2} + 1) > 0$ . Cette équation possède deux solutions:

r_{+} = - x + \sqrt{x^{2} + 1} et r_{-} = - x - \sqrt{x^{2} + 1} .

Pour chaque $x \in ℝ$ , $f (x)$ est l’une de ces deux solutions. Ce choix entre l’une ou l’autre des solutions est susceptible de dépendre de $x$ . Pour tout $x \in ℝ$ , on introduit la fonction $ε : ℝ \to {1, - 1}$ définie de sorte que

\forall x \in ℝ, f (x) = - x + ε (x) \sqrt{x^{2} + 1} .

On remarque

\forall x \in ℝ, ε (x) = \frac{x + f (x)}{\sqrt{x^{2} + 1}} .

Par opérations sur les fonctions qui le sont, la fonction $ε$ est continue. Puisqu’elle ne prend ses valeurs que dans ${- 1, 1}$ , c’est une fonction constante. Au surplus, $ε (0) = f (0) > 0$ . La fonction $ε$ est donc constante égale à $1$ . On conclut

\forall x \in ℝ, f (x) = - x + \sqrt{x^{2} + 1} .

Exercice 42 5264

Soit $f : [0; + \infty [\to ℝ$ une fonction continue telle que $| f |$ tend vers $+ \infty$ en $+ \infty$ .

Montrer que $f$ tend vers $+ \infty$ ou vers $- \infty$ en $+ \infty$ .

Exercice 43 1802 Correction

Soient $f : [a; b] \to ℝ$ continue et $p, q \in ℝ_{+}$ .
Montrer qu’il existe $c \in [a; b]$ tel que

p . f (a) + q . f (b) = (p + q) . f (c) .

Solution

Si $p = q = 0$ , n’importe quel $c$ fait l’affaire.
Sinon posons

y = \frac{p f (a) + q f (b)}{p + q} .

Si $f (a) \leq f (b)$ alors

f (a) = \frac{p f (a) + q f (a)}{p + q} \leq y \leq \frac{p f (b) + q f (b)}{p + q} = f (b) .

Si $f (b) \leq f (a)$ alors, comme ci-dessus $f (b) \leq y \leq f (a)$ .
Dans les deux cas, $y$ est une valeur intermédiaire à $f (a)$ et $f (b)$ donc par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $c \in [a; b]$ tel que $y = f (c)$ .

Exercice 44 242

Soient $f, g : [a; b] \to [a; b]$ deux fonctions continues vérifiant

f \circ g = g \circ f .

Montrer qu’il existe $x_{0}$ dans $[a; b]$ tel que $f (x_{0}) = g (x_{0})$ .

Exercice 45 1805

Soit $f : [0; 1] \to ℝ$ une fonction continue vérifiant $f (0) = f (1)$ .

Montrer que, pour tout $n \in ℕ^{*}$ , il existe $x_{0} \in [0; 1 - 1 / n]$ tel que

f (x_{0}) = f (x_{0} + \frac{1}{n}) .

Exercice 46 5265

Soit $f : [0; 1] \to ℝ$ une fonction continue vérifiant $f (0) = f (1)$ .

(a)

Soit $n \in ℕ^{*}$ . Montrer qu’il existe $c \in [0; 1 - 1 / n]$ tel que

$f (c) = f (c + \frac{1}{n}) .$

Soit $a \in] 0; 1 [$ qui n’est pas l’inverse d’un entier.

(b)

Déterminer une fonction réelle $f$ continue sur $[0; 1]$ , vérifiant $f (0) = f (1)$ et pour laquelle il n’existe pas de solution dans $[0; 1 - a]$ à l’équation $f (x) = f (x + a)$ .

Exercice 47 1808 Correction

Notre objectif dans cet exercice est d’établir la proposition:
Toute fonction $f : I \to ℝ$ continue et injective est strictement monotone.
Pour cela on raisonne par l’absurde et l’on suppose:

\exists (x_{1}, y_{1}) \in I^{2}, x_{1} < y_{1} et f (x_{1}) \geq f (y_{1}) et \exists (x_{2}, y_{2}) \in I^{2}, x_{2} < y_{2} et f (x_{2}) \leq f (y_{2}) .

Montrer que la fonction $φ : [0; 1] \to ℝ$ définie par

φ (t) = f ((1 - t) x_{1} + t x_{2}) - f ((1 - t) y_{1} + t y_{2})

s’annule. Conclure.

Solution

La fonction $φ$ est continue, $φ (0) = f (x_{1}) - f (y_{1}) \geq 0$ et $φ (1) = f (x_{2}) - f (y_{2}) \leq 0$ donc par le théorème des valeurs intermédiaires, $φ$ s’annule en un certain $t$ . Posons $x_{0} = (1 - t) x_{1} + t x_{2}$ et $y_{0} = (1 - t) y_{1} + t y_{2}$ .
$φ (t) = 0$ donne $f (x_{0}) = f (y_{0})$ or $x_{0} < y_{0}$ donc $f$ n’est pas injective. Absurde.

Exercice 48 3350 X (PC)

Montrer la surjectivité de l’application

{\begin{matrix} ℂ & \to & ℂ \\ z & \mapsto & z \exp (z) . \end{matrix}

[<] Théorème des valeurs intérmédiaires[>] Théorème des bornes atteintes

Exercice 49 1800 Correction

Soit $f : [0; 1] \to [0; 1]$ continue. Montrer que $f$ admet un point fixe.

Solution

Soit $φ : [0; 1] \to ℝ$ définie par $φ (x) = f (x) - x$ . Un point fixe de $f$ est une valeur d’annulation de $φ$ .
$φ$ est continue, $φ (0) = f (0) \geq 0$ et $φ (1) = f (1) - 1 \leq 0$ donc, par le théorème des valeurs intermédiaires, $φ$ s’annule.

Exercice 50 3719

Soit $f : [a; b] \to ℝ$ continue.

(a)

Montrer que, si $f ([a; b]) \subset [a; b]$ , alors $f$ admet un point fixe¹¹ 1 Un point fixe d’une fonction $f$ est une solution de l’équation $f (x) = x$ ..
(b)

Montrer que, si $[a; b] \subset f ([a; b])$ , alors $f$ admet un point fixe.

Exercice 51 1806 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ continue et décroissante.

Montrer que $f$ admet un unique point fixe.

Solution

Unicité: Soit $g : x \mapsto f (x) - x$ . $g$ est strictement décroissante donc injective et ne peut donc s’annuler qu’au plus une fois.

Existence: Par l’absurde, puisque $g$ est continue, si elle ne s’annule pas elle est strictement positive ou négative.
Si $\forall x \in ℝ, g (x) > 0$ alors $f (x) > x \to_{x \to + \infty}^{} + \infty$ ce qui est absurde puisque ${lim}_{+ \infty} f = {inf}_{ℝ} f$ .
Si $\forall x \in ℝ, g (x) < 0$ alors $f (x) < x \to_{x \to - \infty}^{} - \infty$ ce qui est absurde puisque ${lim}_{- \infty} f = {sup}_{ℝ} f$ .

Exercice 52 1807 Correction

Soit $f : [0; + \infty [\to ℝ$ continue, positive et telle que

lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = ℓ < 1 .

Montrer qu’il existe $α \in [0; + \infty [$ tel que $f (α) = α$ .

Solution

Si $f (0) = 0$ alors $α = 0$ convient.
Sinon, considérons

g : x \mapsto \frac{f (x)}{x} .

La fonction $g$ est définie et continue sur $ℝ_{+}^{*}$ .
Puisque $f (0) > 0$ , par opérations sur les limites ${lim}_{x \to 0} g (x) = + \infty$ .

De plus, ${lim}_{x \to + \infty} g (x) = ℓ$ . Puisque $g$ est continue et qu’elle prend des valeurs inférieures et supérieures à 1, on peut affirmer par le théorème des valeurs intermédiaires qu’il existe $α \in ℝ_{+}^{*}$ tel que $g (α) = 1$ d’où $f (α) = α$ .

Exercice 53 5018

Soient $f : ℝ \to ℝ$ une fonction continue et $n \in ℕ^{*}$ . On note $f^{n}$ l’itéré de composition d’ordre $n$ de la fonction $f$ :

f^{n} = f \circ f \circ \dots \circ f (n facteurs).

On suppose que $f^{n}$ admet un point fixe, montrer que $f$ admet aussi un point fixe.

Exercice 54 1783

Soit $f : [0; 1] \to [0; 1]$ une fonction croissante. Montrer que $f$ admet un point fixe.

[<] Existence de points fixes[>] Bijection continue

Exercice 55 1812 Correction

Soient $f : ℝ \to ℝ$ bornée et $g : ℝ \to ℝ$ continue.
Montrer que $g \circ f$ et $f \circ g$ sont bornées.

Solution

Soit $M \in ℝ$ tel que

\forall x \in ℝ, | f (x) | \leq M .

Pour tout $x \in ℝ$ , $| f (g (x)) | \leq M$ donc $f \circ g$ est bornée.
Puisque la fonction $g$ est continue sur le segment $[- M; M]$ , elle y est bornée par un certain $M^{'}$ .
Pour tout $x \in ℝ$ , $| g (f (x)) | \leq M^{'}$ car $f (x) \in [- M; M]$ ainsi $g \circ f$ est bornée.

Exercice 56 3437

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction continue périodique de période $T > 0$ .

(a)

Montrer que $f$ est bornée.
(b)

Justifier l’existence d’un réel $x$ pour lequel $f ([x; x + T / 2]) = f (ℝ)$ .

Exercice 57 4099

Soit $f : [0; + \infty [\to ℝ$ une fonction continue admettant une limite finie $ℓ$ en $+ \infty$ .

Démontrer que $f$ est bornée.

Exercice 58 1810 Correction

Soient $f, g : [a; b] \to ℝ$ continues telles que

\forall x \in [a; b], f (x) < g (x) .

Montrer qu’il existe $α > 0$ tel que

\forall x \in [a; b], f (x) \leq g (x) - α .

Solution

Posons $φ : [a; b] \to ℝ$ définie par

φ (x) = g (x) - f (x)

$φ$ est continue sur le segment $[a; b]$ donc y admet un minimum en un certain $c \in [a; b]$ .
Posons $α = φ (c) = g (c) - f (c) > 0$ . Pour tout $x \in [a; b]$ , $φ (x) \geq α$ donc $f (x) \leq g (x) - α$ .

Exercice 59 5067

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction continue de limite $+ \infty$ en $+ \infty$ et en $- \infty$ .

Montrer que $f$ admet un minimum.

Exercice 60 1815 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ continue. On suppose que chaque $y \in ℝ$ admet au plus deux antécédents par $f$ .
Montrer qu’il existe un $y \in ℝ$ possédant exactement un antécédent.

Solution

Soit $y$ une valeur prise par $f$ .

Si celle-ci n’a qu’un antécédent, c’est fini.

Sinon, soient $a < b$ les deux seuls antécédents de $y$ .

La fonction $f$ est continue sur $[a; b]$ y admet donc un minimum en $c$ et un maximum en $d$ . De plus, l’un au moins de $c$ et $d$ n’est pas une extrémité de l’intervalle $[a; b]$ . Quitte à échanger, supposons que cela soit $c$ .

Supposons que $f (c)$ possède un autre antécédent $c^{'}$ que $c$ .

Cas: $c^{'} \in [a; b]$ . La fonction $f$ ne peut être constante entre $c$ et $c^{'}$ et une valeur strictement comprise entre $f (c) = f (c^{'})$ et $\max_{[c; c^{'}]} f$ possède au moins $3$ antécédents.

Cas: $c^{'} \notin [a; b]$ . Une valeur strictement intermédiaire à $y$ et $f (c)$ possède au moins $3$ antécédents.

Ces deux cas étant impossibles, la valeur $f (c)$ possède exactement un seul antécédent.

Exercice 61 3722

Soit $f : [a; b] \to ℝ$ une fonction continue vérifiant $f (a) = f (b)$ (avec $a < b$ ).

Montrer qu’il existe $α > 0$ tel que

\forall t \in [0; α], \exists x \in [a; b - α], f (x + t) = f (x) .

Exercice 62 5680 MINES (MP)Correction

(a)

Quels sont les polynômes $P \in ℂ [X]$ vérifiant $P (ℂ) = ℂ$ ?
(b)

Quels sont les polynômes $P \in ℂ [X]$ vérifiant $P (ℝ) = ℝ$ ?

Solution

(a)

Soit $P \in ℂ [X]$ . On a immédiatement $P (ℂ) \subset ℂ$ .

Si $P \in ℂ [X]$ est constant égal à $λ$ alors $P (ℂ) = {λ} \neq ℂ$ .

Sinon, pour tout $Z \in ℂ$ , l’équation $P (z) = Z$ possède au moins une solution $z \in ℂ$ car le théorème de d’Alembert-Gauss assure l’existence d’une racine au polynôme $P (X) - Z$ . On peut alors affirmer $P (ℂ) = ℂ$ .

On en déduit que les polynômes $P \in ℂ [X]$ vérifiant $P (ℂ) = ℂ$ sont les polynômes non constants.
(b)

Soit $P \in ℂ [X]$ . Notons $(a_{k})$ la suite des coefficients du polynôme $P$ . On sait

$\forall k \in ℕ, a_{k} = \frac{P^{(k)} (0)}{k!} .$

Si $P (ℝ) \subset ℝ$ alors, par calcul de dérivée,

$\forall x \in ℝ, P^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{1}{h} (P (x + h) - P (x)) \in ℝ .$

Par une récurrence immédiate, $P^{(k)} (ℝ) \subset ℝ$ pour tout $k \in ℕ$ et donc $a_{k} \in ℝ$ .

Ainsi, les polynômes $P \in ℂ [X]$ vérifiant $P (ℝ) = ℝ$ sont à rechercher parmi les polynômes à coefficients réels.

Soit $P \in ℝ [X]$ . On a immédiatement $P (ℝ) \subset ℝ$ .

Si $P$ est de degré pair et si son coefficient dominant est strictement positif alors

$lim_{t \to + \infty} P (t) = lim_{t \to - \infty} P (t) = + \infty .$

Par continuité de la fonction polynomiale $P$ , la fonction $P$ présente un minimum et donc $P (ℝ) \neq ℝ$ .

Si $P$ est de degré pair et si son coefficient dominant est strictement négatif, on parvient à une conclusion analogue en considérant $- P$ .

Si $P$ est de degré impair alors les limites de la fonction $P$ en $+ \infty$ et en $- \infty$ sont infinies et opposées. Par continuité de la fonction polynomiale $P$ , on obtient que, pour tout $y \in ℝ$ , l’équation $P (x) = y$ présente au moins une solution $x \in ℝ$ et donc $P (ℝ) = ℝ$ .

En résumé, les polynômes $P \in ℂ [X]$ vérifiant $P (ℝ) = ℝ$ sont les polynômes réels de degrés impairs.

Exercice 63 5068

Soient $a < b \in ℝ$ et $f : [a; b] \to ℝ$ une fonction continue vérifiant

| f (x) | < 1 pour tout x \in [a; b] .

(a)

Montrer qu’il existe $k \in [0; 1 [$ tel que $| f (x) | \leq k$ pour tout $x \in [a; b]$ .
(b)

Application : Soit $(x_{n})$ une suite d’éléments de $[a; b]$ . Étudier

$lim_{n \to + \infty} {(f (x_{n}))}^{n} .$

Exercice 64 4871

Soit $f : [0; + \infty [\to ℝ$ une fonction continue. Pour tout réel $x$ positif, on pose

g (x) = \max_{t \in [0; x]} f (t) .

Montrer que la fonction $g$ est définie, continue et croissante sur $[0; + \infty [$ .

Exercice 65 6087 MINES (MP)Correction

Soient $f, g \in 𝒞 (ℝ_{+}, ℝ_{+})$ .

(a)

On suppose

$\forall x \in ℝ_{+}, f (x) ⩽ \int_{0}^{x} f (t) g (t) d t .$

Montrer que $f$ est identiquement nulle.
(b)

On suppose qu’il existe $a$ et $m$ dans $[0; 1 [$ tels que

$\forall x \in ℝ_{+}, f (x) ⩽ a f (m x) + \int_{0}^{x} f (t) g (t) d t .$

Montrer que $f$ est identiquement nulle.

Solution

(a)

Considérons $φ : ℝ_{+} \to ℝ$ et $G : ℝ_{+} \to ℝ$ données par

$φ (x) = \int_{0}^{x} f (t) g (t) d t et G (x) = \int_{0}^{x} g (t) d t .$

La fonction $ψ : x \mapsto φ (x) e^{- G (x)}$ est de classe $𝒞^{1}$ sur $ℝ_{+}$ avec

$ψ^{'} (x) = (φ^{'} (x) - g (x) φ (x)) e^{- G (x)} = (f (x) - φ (x)) g (x) e^{- G (x)} ⩽ 0 .$

La fonction $ψ$ est décroissante. Or $ψ (0) = 0$ et donc $ψ$ est négative. Cependant, $φ$ est positive et donc $ψ$ aussi. On en déduit que $ψ$ est la fonction identiquement nulle. L’hypothèse de départ fournit alors par encadrement la nullité de $f$ .
(b)

Pour $x = 0$ , l’hypothèse fournit $f (0) ⩽ a f (0)$ . On a donc $f (0) = 0$ car $f (0) ⩾ 0$ et $a < 1$ .

Cas: $m = 0$ . Sachant $f (0) = 0$ , on est ramené à l’étude de la première question.

Cas: $m > 0$ . Soit $ε > 0$ . La fonction $f$ est continue sur le segment $[0; ε]$ et y admet donc un maximum en un certain $x \in [0; ε]$ de valeur $M$ . Par l’inégalité,

$M ⩽ a M + \int_{0}^{x} M g (t) d t ⩽ (a + \int_{0}^{ε} g (t) d t) M .$

On peut choisir $ε > 0$ assez petit pour que

$a + \int_{0}^{ε} g (t) d t < 1$

et l’on obtient alors $M = 0$ . La fonction $f$ est donc nulle sur $[0; ε]$ .

Par l’absurde, supposons que la fonction $f$ ne soit pas identiquement nulle sur $ℝ_{+}$ . On peut introduire le plus grand $α > 0$ tel que $f$ soit nulle sur $[0; α]$ . Sur l’intervalle $[α; α / m]$ la fonction n’est pas identiquement nulle et pour tout $x$ de cet intervalle

$f (x) ⩽ a f (m x) + \int_{0}^{x} f (t) g (t) d t = \int_{0}^{x} f (t) g (t) d t .$

On peut alors reprendre la démarche de la première question pour affirmer que $f$ est nulle sur $[0; α / m]$ . C’est absurde.

[<] Théorème des bornes atteintes[>] Continuité et équation fonctionnelle

Exercice 66 4831

Soit $f : I \to ℝ$ une application continue, impaire et strictement monotone.

Justifier que $f$ réalise une bijection de $I$ vers un intervalle $J$ et montrer que sa bijection réciproque est impaire.

Exercice 67 1816 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ définie par

f (x) = \frac{x}{1 + | x |} .

(a)

Montrer que $f$ réalise une bijection de $ℝ$ vers un intervalle $I$ à préciser.
(b)

Pour $y \in I$ , déterminer une expression de $f^{- 1} (y)$ analogue à celle de $f (x)$ .

Solution

(a)

Sur $[0; + \infty [$ ,

$f (x) = \frac{x}{1 + x} = 1 - \frac{1}{1 + x}$

$f$ est continue, strictement croissante et ${lim}_{+ \infty} f = 1$ .

Sur $] - \infty; 0 [$ ,

$f (x) = \frac{x}{1 - x} = - 1 + \frac{1}{1 - x}$

$f$ est continue et strictement croissante et ${lim}_{- \infty} f = - 1$ .

Ainsi, $f$ est continue sur $ℝ$ , strictement croissante et réalise une bijection de $ℝ$ vers $I =] {lim}_{- \infty} f; {lim}_{+ \infty} f [=] - 1; 1 [$ . Finalement, $f$ réalise une bijection de $ℝ$ vers $] - 1; 1 [$ .
(b)

Pour $y \in [0; 1 [$ , son antécédent $x = f^{- 1} (y)$ appartient à $[0; + \infty [$ .

$y = f (x) \Leftrightarrow y = \frac{x}{1 + x} \Leftrightarrow x = \frac{y}{1 - y} .$

Pour $y \in] - 1; 0 [$ , son antécédent $x = f^{- 1} (y)$ appartient à $] - \infty; 0 [$ .

$y = f (x) \Leftrightarrow y = \frac{x}{1 - x} \Leftrightarrow x = \frac{y}{1 + y} .$

Finalement,

$\forall y \in] - 1; 1 [, f^{- 1} (y) = \frac{y}{1 - | y |} .$

Exercice 68 1817 Correction

Soient $a < b \in ℝ$ et $f :] a; b [\to ℝ$ une fonction strictement croissante.
Montrer que $f$ est continue si, et seulement si, $f (] a; b [) =] {lim}_{a} f; {lim}_{b} f [$ .

Solution

Notons que ${lim}_{a} f$ et ${lim}_{b} f$ existent car $f$ est croissante.

$(⟹)$ Supposons $f$ continue.
Puisque $f$ est continue et strictement croissante, $f$ réalise une bijection de $] a; b [$ sur $] {lim}_{a} f; {lim}_{b} f [$ d’où le résultat.

$(⟸)$ Supposons $f (] a; b [) =] {lim}_{a} f; {lim}_{b} f [$ .
Soit $x_{0} \in] a; b [$ . On a ${lim}_{a} f < f (x_{0}) < {lim}_{b} f$ .
Pour tout $ε > 0$ , soit $y^{+} \in] f (x_{0}); f (x_{0}) + ε] \cap] {lim}_{a} f; {lim}_{b} f [$ . Il existe $x^{+} \in] a; b [$ tel que $f (x^{+}) = y^{+}$ .
Soit $y^{-} \in [f (x_{0}) - ε; f (x_{0}) [\cap] {lim}_{a} f; {lim}_{b} f [$ . Il existe $x^{-} \in] a; b [$ tel que $f (x^{-}) = y^{-}$ .
Puisque $f$ est croissante, $x^{-} < x_{0} < x^{+}$ . Posons $α = \min (x^{+} - x_{0}, x_{0} - x^{-}) > 0$ .
Pour tout $x \in] a; b [$ , si $| x - x_{0} | \leq α$ alors $x^{-} \leq x \leq x^{+}$ donc $y^{-} \leq f (x) \leq y^{+}$ d’où $| f (x) - f (x_{0}) | \leq ε$ .
Ainsi $f$ est continue en $x_{0}$ puis $f$ continue sur $] a; b [$ .

Exercice 69 4874

Déterminer les fonctions $f : [0; + \infty [\to [0; + \infty [$ continues vérifiant

f (f (x)) = x pour tout x \in [0; + \infty [.

[<] Bijection continue[>] Fonctions lipshitziennes

Exercice 70 1790

Déterminer les fonctions $f : ℝ \to ℝ$ continues en $0$ vérifiant

f (2 x) = f (x) pour tout x réel.

Exercice 71 1792 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction continue et prenant la valeur $1$ en $0$ .

On suppose que

f (2 x) = f (x) \cos (x) pour tout x \in ℝ .

Déterminer $f$ .

Solution

Soit $f$ solution.

f (x) = f (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) = f (\frac{x}{4}) \cos (\frac{x}{4}) \cos (\frac{x}{2}) = \dots = f (\frac{x}{2^{n}}) \cos (\frac{x}{2^{n}}) \dots \cos (\frac{x}{2}) .

\sin (\frac{x}{2^{n}}) \cos (\frac{x}{2^{n}}) \dots \cos (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2^{n}} \sin (x)

donc

\sin (\frac{x}{2^{n}}) f (x) = \frac{\sin (x)}{2^{n}} f (\frac{x}{2^{n}}) .

Pour $x \neq 0$ , quand $n \to + \infty$ , on a $\sin (\frac{x}{2^{n}}) \neq 0$ puis

f (x) = \frac{\sin (x)}{2^{n} \sin (\frac{x}{2^{n}})} f (\frac{x}{2^{n}}) \to \frac{\sin (x)}{x} f (0) .

Ainsi,

\forall x \in ℝ, f (x) = \frac{\sin (x)}{x}

(avec prolongement par continuité par $1$ en $0$ ).

Vérification: ok.

Exercice 72 1791 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction continue en 0 et en 1 telle que

\forall x \in ℝ, f (x) = f (x^{2}) .

Montrer que $f$ est constante.

Solution

\forall x \in ℝ, f (- x) = f ({(- x)}^{2}) = f (x^{2}) = f (x)

donc $f$ est paire.
Pour tout $x > 0$ , $x^{1 / 2^{n}} \to_{n \to + \infty}^{} 1$ donc $f (x^{1 / 2^{n}}) \to_{n \to + \infty}^{} f (1)$ par continuité de $f$ en 1.
Or

f (x^{1 / 2^{n}}) = f (x^{1 / 2^{n - 1}}) = \dots = f (x)

donc $f (x) = f (1)$ pour tout $x > 0$ puis pour tout $x \in ℝ^{*}$ par parité.
De plus, $f (0) = {lim}_{x \to 0^{+}} f (x) = f (1)$ donc

\forall x \in ℝ, f (x) = f (1) .

Exercice 73 244 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ continue telle que

\forall x \in ℝ, f (\frac{x + 1}{2}) = f (x) .

Montrer que $f$ est constante.

Solution

Soient $x \in ℝ$ et $(u_{n})$ définie par $u_{0} = x$ et pour tout $n \in ℕ$ ,

u_{n + 1} = \frac{u_{n} + 1}{2} .

Si $x \geq 1$ alors on montre par récurrence que $(u_{n})$ est décroissante et supérieure à 1.
Si $x \leq 1$ alors on montre par récurrence que $(u_{n})$ est croissante et inférieure à 1.
Dans les deux cas la suite $(u_{n})$ converge vers 1.
Or pour tout $n \in ℕ$ , $f (x) = f (u_{n})$ donc à la limite $f (x) = f (1)$ .

Exercice 74 5296 ENSTIM (MP)Correction

Déterminer les fonctions $f : ℝ \to ℝ$ vérifiant

| f (x) - f (y) | = | x - y | pour tout (x, y) \in ℝ^{2} .

Solution

On commence par observer que $f$ est continue car lipschitzienne. Si $f$ est solution, on remarque que $x \mapsto f (x) + C^{t e}$ est aussi solution. Quitte à considérer $f - f (0)$ , on peut supposer $f (0) = 0$ auquel cas

| f (x) | = | x | pour tout x \in ℝ .

On peut alors écrire

f (x) = ε (x) x pour tout x \in ℝ

avec $ε : ℝ \to {- 1,1}$ une fonction. Celle-ci est continue (et donc constante) sur les intervalles $] - \infty; 0 [$ et $] 0; + \infty [$ car on peut l’y exprimer comme un quotient de fonctions continues. De plus, $f (1) - f (- 1)$ est différent de $0$ et les constantes décrivant $ε$ sur les intervalles $] - \infty; 0 [$ et $] 0; + \infty [$ sont opposées. Finalement, on obtient $f : x \mapsto x$ ou $f : x \mapsto - x$ sur $ℝ$ .

La réciproque est immédiate et l’on conclut que les fonctions solutions sont

x \mapsto x + C^{t e} et x \mapsto - x + C^{t e} .

Exercice 75 4872

(Fonctions additives et continues)

Déterminer les fonctions $f : ℝ \to ℝ$ continues vérifiant

f (x + y) = f (x) + f (y) pour tout (x, y) \in ℝ^{2} .

(1)

On pourra commencer par calculer $f (x)$ pour $x$ nombre rationnel.

Exercice 76 243 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ telle que

f (x + y) = f (x) + f (y) pour tout (x, y) \in ℝ^{2} .

On suppose en outre que la fonction $f$ est continue en un point $x_{0} \in ℝ$ .
Déterminer la fonction $f$ .

Solution

La relation fonctionnelle $f (x + y) = f (x) + f (y)$ permet d’établir

\forall r \in ℚ, f (r) = r f (1) .

Pour cela on commence par établir

\forall a \in ℝ, \forall n \in ℤ, f (n a) = n f (a) .

On commence par établir le résultat pour $n = 0$ en exploitant

f (0) = f (0) + f (0)

ce qui entraîne $f (0) = 0$ .
On étend ensuite le résultat à $n \in ℕ$ en raisonnant par récurrence et en exploitant

f ((n + 1) a) = f (n a) + f (a) .

On étend enfin le résultat à $n \in ℤ$ en exploitant la propriété de symétrie $f (- x) = - f (x)$ issu de

f (x) + f (- x) = f (0) = 0 .

Considérons alors $r = p / q \in ℚ$ avec $p \in ℤ$ et $q \in ℕ^{*}$ , on peut écrire

f (r) = f (p \times \frac{1}{q}) = p f (\frac{1}{q}) et f (1) = f (q \times \frac{1}{q}) = q f (\frac{1}{q})

donc

f (r) = \frac{p}{q} f (1) = r f (1) .

Nous allons étendre cette propriété à $x \in ℝ$ par un argument de continuité.
Soit $x \in ℝ$ . On peut affirmer qu’il existe une suite $(x_{n}) \in ℚ^{ℕ}$ telle que $x_{n} \to x$ . Pour celle-ci, on a $x_{n} + x_{0} - x \to x_{0}$ et donc par continuité de $f$ en $x_{0}$

f (x_{n} + x_{0} - x) \to f (x_{0}) .

Or on a aussi

f (x_{n} + x_{0} - x) = f (x_{0}) + (f (x_{n}) - f (x))

donc

f (x_{n}) - f (x) \to 0 .

Ainsi,

f (x) = lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = x f (1) .

Finalement, la fonction $f$ est linéaire.

Exercice 77 4873

Déterminer les fonctions $f : ℝ \to ℝ$ continues vérifiant

f (x + y) = f (x) f (y) pour tout (x, y) \in ℝ^{2} .

Exercice 78 1799 Correction

On cherche les fonctions $f : ℝ \to ℝ$ continues telles que

f (\frac{x + y}{2}) = \frac{1}{2} (f (x) + f (y)) pour tout (x, y) \in ℝ^{2} .

Pour commencer, on suppose $f$ et $f (0) = f (1) = 0$ .

(a)

Montrer que $f$ est impaire puis que $f$ est périodique.
(b)

Établir

$2 f (x) = f (2 x) pour tout x \in ℝ .$

en déduire que $f$ est identiquement nulle.
(c)

Déterminer toutes les fonctions $f$ solutions.

Solution

(a)

Pour $x \in ℝ$ , en employant $y = - x$ , on obtient

$f (- x) + f (x) = 0$

On en déduit que $f$ est impaire.

Aussi, en employant $y = - x$ , on obtient

$f (2 - x) + f (x) = 0 .$

et l’on en déduit

$\forall x \in ℝ, f (x) = - f (- x) = f (2 - (- x)) = f (x + 2)$

La fonction $f$ est périodique.
(b)

Pour $x \in ℝ$ et $y = 0$ , on obtient

$f (\frac{x}{2}) = \frac{f (x)}{2}$

En considérant $2 x$ au lieu de $x$ , il vient $f (2 x) = 2 f (x)$ .

Puisque $f$ est continue et périodique, $f$ est bornée. Or la relation $f (2 x) = 2 f (x)$ implique que $f$ n’est pas bornée dès qu’elle prend une valeur non nulle. Par suite, $f$ est identiquement nulle.
(c)

Pour $a = f (1) - f (0)$ et $b = f (0)$ , on observe que $g (x) = f (x) - (a x + b)$ est solution du problème posé et s’annule en $0$ et en $1$ . La fonction $g$ est donc identiquement nulle. On conclut que $f$ est affine:

$\forall x \in ℝ, f (x) = a x + b$

La réciproque est immédiate.

Exercice 79 3721 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction continue telle que

f (\frac{x + y}{2}) = \frac{1}{2} (f (x) + f (y)) pour tout (x, y) \in ℝ^{2} .

(a)

On suppose $f (0) = 0$ . Vérifier

$f (x + y) = f (x) + f (y) pour tout (x, y) \in ℝ^{2} .$
(b)

On revient au cas général, déterminer $f$ .

Solution

(a)

On a

$\forall x \in ℝ, f (\frac{x}{2}) = f (\frac{x + 0}{2}) = \frac{1}{2} (f (x) + f (0)) = \frac{1}{2} f (x)$

donc

$\forall x, y \in ℝ, f (\frac{x + y}{2}) = \frac{1}{2} f (x + y) .$

On en déduit

$\forall x, y \in ℝ, f (x + y) = f (x) + f (y) .$
(b)

Sachant $f$ continue, on peut alors classiquement conclure que dans le cas précédent $f$ est de la forme $x \mapsto a x$ .
Dans le cas général, il suffit de considérer $x \mapsto f (x) - f (0)$ et de vérifier que cette nouvelle fonction satisfait toujours la propriété initiale tout en s’annulant en 0.
On peut donc conclure que dans le cas général $f$ est affine: $x \mapsto a x + b$

Exercice 80 5266

(Équation fonctionnelle de Jensen)

Déterminer les fonctions $f : ℝ \to ℝ$ continues vérifiant

f (\frac{x + y}{2}) = \frac{f (x) + f (y)}{2} pour tout (x, y) \in ℝ^{2} .

Exercice 81 4875

Déterminer les fonctions $f : ℝ \to ℝ$ continues vérifiant¹¹ 1 On trouvera une problématique analogue dans le sujet 5016.

f (f (x)) = 2 f (x) - x pour tout x \in ℝ .

[<] Continuité et équation fonctionnelle

Exercice 82 1781 Correction

On rappelle que pour tout $x \in ℝ$ , on a $| \sin (x) | \leq | x |$ .

Montrer que la fonction $x \mapsto \sin (x)$ est $1$ -lipschitzienne.

Solution

Par formule de factorisation,

| \sin (x) - \sin (y) | = | 2 \sin (\frac{x - y}{2}) \cos (\frac{x + y}{2}) | \leq 2 | \sin (\frac{x - y}{2}) | \leq 2 \frac{| x - y |}{2} = | x - y |

donc $\sin$ est $1$ lipschitzienne. On peut aussi directement le résultat par l’inégalité des accroissements finis ou un calcul intégral sans employer l’indication.

Exercice 83 1782 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction $k$ lipschitzienne (avec $k \in [0; 1 [$ ) telle que $f (0) = 0$ .

Soient $a \in ℝ$ et $(u_{n})$ la suite réelle déterminée par

u_{0} = a et u_{n + 1} = f (u_{n}) pour tout n \in ℕ .

Montrer que $(u_{n})$ tend vers $0$ .

Solution

Montrons par récurrence sur $n \in ℕ$ que $| u_{n} | \leq k^{n} | a |$ .
Pour $n = 0$ : ok
Supposons la propriété établie au rang $n \geq 0$ .

| u_{n + 1} | = | f (u_{n}) - f (0) | \leq k | u_{n} - 0 | = k | u_{n} | \underset{H R}{\leq} k^{n + 1} | a | .

Récurrence établie.
Puisque $k \in [0; 1 [$ , $k^{n} \to 0$ et donc $u_{n} \to 0$ .

Exercice 84 1814 Correction

Soient $f, g : [0; 1] \to ℝ$ continue.
On pose

φ (t) = sup_{x \in [0; 1]} (f (x) + t g (x)) .

Montrer que $φ$ est bien définie sur $ℝ$ et qu’elle y est lipschitzienne.

Solution

L’application $x \mapsto f (x) + t g (x)$ est définie et continue sur le segment $[0; 1]$ elle y est donc bornée et atteint ses bornes. Par suite, $φ (t)$ est bien définie et plus précisément, il existe $x_{t} \in [0; 1]$ tel que $φ (t) = f (x_{t}) + t g (x_{t})$ .
Puisque $g$ est continue sur $[0; 1]$ elle y est bornée par un certain $M$ :
On a

φ (t) - φ (τ) = f (x_{t}) + t g (x_{t}) - (f (x_{τ}) + τ g (x_{τ}))

f (x_{t}) + τ g (x_{t}) \leq f (x_{τ}) + τ g (x_{τ})

donc

φ (t) - φ (τ) \leq t g (x_{t}) - τ g (x_{t}) = (t - τ) g (x_{t}) \leq M | t - τ | .

De même

φ (τ) - φ (t) \leq M | t - τ |

et finalement $φ$ est $M$ lipschitzienne.

Édité le 30-10-2025