[>] Propriétés des fonctions convexes
Donner un exemple de fonction convexe définie sur , non minorée et qui ne soit pas une fonction affine.
Solution
La fonction convient: elle est convexe en tant que somme de deux fonctions convexes et elle n’est pas minorée car de limite en .
Trouver deux fonctions convexes définies sur dont la différence est périodique sans être constante.
Solution
Les fonctions et définies par et conviennent.
Soient et deux applications telles que soit convexe et soit à la fois convexe et croissante. Montrer que est convexe.
Solution
Soient et ,
Puisque est convexe
Puisque est croissante
Puisque est convexe
Finalement, est convexe.
Soit une application continue strictement décroissante et convexe.
Étudier la convexité de la fonction .
Solution
réalise une bijection continue de vers . a même monotonie que .
Soient et , posons et .
donne, sachant décroissante:
c’est-à-dire
Ainsi est convexe.
Soit une fonction réelle définie sur . Montrer que la fonction est convexe si, et seulement si, la fonction l’est aussi.
Soit une fonction continue.
On suppose
Montrer que la fonction est convexe.
On suppose qu’il existe un réel tel que
En considérant les fonctions , montrer que est dérivable11 1 On pourra exploiter librement le résultat du sujet 4687..
Soient deux fonctions convexes et dérivables. On suppose
Montrer qu’il existe tel que la fonction soit positive.
Soient un intervalle de et . On pose:
et, pour ,
Montrer que est un intervalle et que y est convexe.
On suppose que est de classe et que est strictement croissante. Montrer
Solution
Soient et deux éléments de et . Étudions . Pour tout ,
En multipliant ces deux équations respectivement par les réels positifs et puis en sommant, on obtient
Ainsi, et . On en déduit que est un intervalle et est convexe.
La fonction est convexe et son graphe est donc au-dessus de chacune de ses tangentes. Pour , on a donc
soit
(1) |
On en déduit que est élément de et
De plus, l’inégalité (1) est une égalité pour et donc
[<] Étude de convexité[>] Étude de fonctions
Soit une fonction convexe strictement croissante.
Montrer que tend vers en .
Solution
Par la convexité de , pour tout , on a
donc
Soit une fonction convexe et majorée. Montrer que est constante.
Soit dérivable, concave et vérifiant . Montrer que est sous-additive c’est-à-dire
Solution
Soit . Posons définie par
La fonction est dérivable et
Puisque est concave, sa dérivée est décroissante et donc
On en déduit que est décroissante et puisque , la fonction est négative ce qui fournit l’inégalité demandé
Soit une fonction définie de vers .
On suppose que la fonction est convexe. Montrer que pour tout réel , l’ensemble est un intervalle.
Que dire de la réciproque?
Solution
Soit un réel. Étudions .
Méthode: On montre qu’une partie de est un intervalle en vérifiant
Soient et deux éléments de tels que . Pour tout , il existe tel que . La convexité de donne alors
(la dernière inégalité étant valable car les facteurs et sont positifs). Ainsi, est élément de et l’on peut affirmer . On conclut alors que est un intervalle.
La réciproque est fausse: une fonction monotone vérifie la propriété étudiée mais n’est pas nécessairement convexe.
Soit une fonction convexe. Montrer que si admet un minimum local en alors admet un minimum global en .
Soit une fonction convexe. Montrer que est continue.
Solution
Étudions la continuité en . Soit tels que .
Quand :
donc puis
et donc puis
Par le théorème des gendarmes
Même étude pour puis la conclusion.
Soit une fonction convexe.
On suppose . Montrer que est positive.
On suppose que présente une droite asymptote en . Cela signifie qu’il existe une droite d’équation vérifiant
Étudier la position de la courbe par rapport à cette asymptote.
Solution
Soient . Pour tout , on a . À la limite quand , .
Par suite, est décroissante et puisque , on peut conclure .
Posons l’équation de l’asymptote engagée et considérons .
La fonction est convexe et tend vers 0 en . Par suite, est positive et est au dessus de son asymptote.
Soit une fonction convexe définie sur un intervalle ouvert.
Montrer que est dérivable à droite et à gauche en tout point de avec11 1 Ce résultat (qui n’est pas explicitement au programme) est souvent utilisé pour résoudre d’autres exercices comme par exemple le sujet 3049.
En déduire que la fonction est continue.
[<] Propriétés des fonctions convexes[>] Inégalités de convexité
Étudier la convexité de la fonction définie sur .
Étudier la convexité de la fonction définie sur .
Solution
La fonction est définie et deux fois dérivable sur avec
Puisque est du signe de , la fonction est convexe sur et concave sur les intervalles11 1 La notion de fonction convexe (ou concave) est uniquement introduite pour les fonctions définies sur un intervalle: on évitera donc de dire que est concave sur la réunion . et .
Étudier la fonction
afin d’en réaliser la représentation graphique.
Solution
La fonction est définie sur et impaire. On limite son étude à l’intervalle .
La fonction est de classe sur avec
La fonction présente une inflexion en de tangente d’équation .
La fonction présente un maximum en de valeur .
Puisque , il y a une tangente verticale en .
La fonction
[<] Étude de fonctions[>] Inégalité arithmético-géométrique
Par un argument de convexité, établir
.
Observer les inégalités suivantes par un argument de convexité:
Solution
La fonction est concave sur , la droite d’équation est sa tangente en 0 et la droite d’équation
supporte la corde joignant les points d’abscisses 0 et .
Le graphe d’une fonction concave est en dessous de ses tangentes et au dessus de ses cordes et cela fournit l’inégalité.
La fonction est convexe sur et sa tangente en a pour équation
Le graphe d’une fonction convexe est au dessus de chacune de ses tangentes et cela fournit l’inégalité.
Montrer que définie par est concave.
En déduire
Solution
est définie et de classe sur avec
est concave.
Puisque est concave,
c’est-à-dire
La fonction étant croissante,
Montrer
Solution
La fonction est convexe sur donc
d’où
puis l’inégalité voulue.
Soient et . Montrer
Soient tels que
Montrer que pour tous on a
Solution
La fonction est concave. En appliquant l’inégalité de concavité entre et on obtient
puis l’inégalité voulue.
Étudier la convexité de la fonction définie sur .
Soient et .
Établir
Solution
La fonction est de classe sur avec
La fonction est convexe sur .
Par la convexité de , on peut écrire pour tous et
soit encore
Par croissance de la fonction exponentielle,
Posons alors et pour écrire
Puisque la fonction exponentielle prend toute valeur strictement positive, l’inégalité qui précède vaut pour tous . Si l’un de ou de est nul, l’inégalité est immédiate11 1 Même dans le cas et pour lequel .. Finalement, l’inégalité souhaitée vaut pour tous .
(Inégalité de Hölder)
Soient tels que
En exploitant la concavité de , établir que pour tout , on a
Soient , déduire de ce qui précède:
Conclure que
Plus généralement, établir que pour tout et tous ,
Solution
Par la concavité de , on a pour tout et tout l’inégalité:
Appliquée à , elle donne
puis l’inégalité voulue. Enfin celle-ci reste vraie si ou .
Il suffit d’appliquer l’inégalité précédente à
De même, on a aussi
donc en sommant les inégalités obtenues puis en simplifiant on obtient celle voulue.
En reprenant l’inégalité du a) avec
puis en sommant les inégalités obtenues, on obtient celle voulue.
Soient des réels positifs. Établir
En déduire, pour tous réels positifs
(Entropie et inégalité de Gibbs)
On dit que est une distribution de probabilité de longueur lorsque les sont des réels strictement positifs de somme égale à . On introduit alors l’entropie de cette distribution définie par
Soit une distribution d’entropie de longueur . Vérifier
Soit une autre distribution d’entropie de longueur . Établir l’inégalité de Gibbs
(Inégalité de Jensen intégrale)
Soient une fonction convexe continue11 1 Lorsqu’une fonction convexe est définie sur un intervalle ouvert, elle est assurément continue (voir le sujet 4687). et une fonction continue à valeurs dans .
Montrer
(Inégalité d’entropie)
Soit convexe et dérivable sur intervalle non singulier.
Établir que pour tout on a l’inégalité
Soit continue. Établir
Soit continue, strictement positive et d’intégrale égale à 1. Montrer
Soient continues, strictement positives et d’intégrales sur égales à 1. En justifiant et en exploitant l’inégalité pour , montrer
Solution
étant convexe, la courbe est au dessus de chacune de ses tangentes.
Posons et considérons :
En intégrant sur , on obtient
car
est convexe sur car croît avex . L’inégalité précédente donne alors
puisque annule .
étant convexe et de tangente d’équation en 1, on a
Par suite,
Soit une fonction convexe dérivable. Montrer11 1 Ce résultat permet d’estimer la qualité de l’approximation de la valeur d’une intégrale d’une fonction convexe par l’aire d’un trapèze.
Soit continue, concave et vérifiant . Établir
Solution
Par un argument géométrique (trapèze sous la courbe) la concavité donne
On en déduit donc
Or
La relation (1) donne alors
Enfin
donne
Les relations (2) et (3) permettent alors de conclure.
(Inégalité arithmético-géométrique)
Soient des réels positifs. Montrer
Soient des réels strictement positifs. Montrer
Soient des réels positifs vérifiant et un entier naturel.
Montrer
Édité le 23-02-2024
Bootstrap 3 - LaTeXML - Powered by MathJax