[>] Étude de convexité

 
Exercice 1  1730  Correction  

Soient C1 et C2 deux parties convexes d’un espace vectoriel réel E.
Montrer que l’ensemble C formé des milieux des vecteurs u1 et u2 avec u1C1 et u2C2 est convexe.

Solution

Soient λ[0;1] et u,vC. Étudions λu+(1-λ)v.
On peut écrire u=12(u1+u2) et v=12(v1+v2) avec u1,v1𝒞1 et u2,v2𝒞2.
On observe alors

λu+(1-λ)v=12(w1+w2)

avec

w1=(λu1+(1-λ)v1)𝒞1 et w2=12(λu2+(1-λ)v2)𝒞2.

Ainsi λu+(1-λ)v𝒞.

 
Exercice 2  1731   Correction  

Soit V une partie non vide d’un -espace vectoriel E.
Montrer que si tout barycentre d’éléments de V est encore dans V alors V est un sous-espace affine.

Solution

Soient aV et F={b-a|bV}. Montrons que F est un sous-espace vectoriel de E, ce qui, puisque V=a+F assure que V est un sous-espace affine.
FE et 0E=a-aF.
Soient λ et uF. Puisque aV et a+uV on a

a+λu=(1-λ)a+λ(a+u)V

donc λ.uF.
Soient u,vF. On a a+uV et b+vV donc

a+12(u+v)=12(a+u)+12(a+v)V

et donc 12(u+v)F puis u+vF en vertu de la propriété précédente.

Finalement, F est un sous-espace vectoriel de E.

[<] Barycentre et parties convexes[>] Propriétés des fonctions convexes

 
Exercice 3  4188  Correction  

Trouver deux fonctions convexes définies sur dont la différence est périodique sans être constante.

Solution

Les fonctions f et g définies par f(x)=x2+cos(x) et g(x)=x2 conviennent.

 
Exercice 4  1391  Correction  

Soient f et g: deux applications telles que f soit convexe et g soit à la fois convexe et croissante. Montrer que gf est convexe.

Solution

Soient a,b et λ[0;1],
Puisque f est convexe

f(λa+(1-λ)b)λf(a)+(1-λ)f(b).

Puisque g est croissante

(gf)(λa+(1-λ)b)g(λf(a)+(1-λ)f(b)).

Puisque g est convexe

(gf)(λa+(1-λ)b)λ(gf)(a)+(1-λ)(gf)(b).

Finalement, gf est convexe.

 
Exercice 5  1392  Correction  

Soit f:I une application continue strictement décroissante et convexe.
Étudier la convexité de la fonction f-1:f(I)I.

Solution

f réalise une bijection continue de I vers f(I). f-1 a même monotonie que f.
Soient y,zf(I) et λ[0;1], posons a=f-1(y) et b=f-1(z).

f(λa+(1-λ)b)λf(a)+(1-λ)f(b)

donne, sachant f-1 décroissante:

λa+(1-λ)bf-1(λf(a)+(1-λ)f(b)).

c’est-à-dire

λf-1(y)+(1-λ)f-1(z)f-1(λy+(1-λ)z).

Ainsi f-1 est convexe.

 
Exercice 6  4686   

Soit f une fonction réelle définie sur ]0;+[. Montrer que la fonction xxf(x) est convexe si, et seulement si, la fonction xf(1/x) l’est aussi.

 
Exercice 7  3049      X (MP)

Soit f: une fonction continue.

  • (a)

    On suppose, pour tous réels x et y dans

    f(x+y2)f(x)+f(y)2.

    Montrer que la fonction f est convexe.

  • (b)

    On suppose qu’il existe un réel M tel que

    (x,y)2,|f(x+y)+f(x-y)-2f(x)|My2.

    En considérant les fonctions xf(x)±Mx2/2, montrer que f est dérivable11 1 On pourra exploiter librement le résultat du sujet 4687..

 
Exercice 8  4692    

Soient f,g:[0;1] deux fonctions convexes et dérivables. On suppose

x[0;1],max(f(x),g(x))0.

Montrer qu’il existe λ[0;1] tel que la fonction h=(1-λ)f+λg soit positive.

 
Exercice 9  4172      CENTRALE (MP)Correction  

Soient I un intervalle de et f:I. On pose:

I*={λ|supxI(λx-f(x))<+}

et, pour λI*,

f*(λ)=supxI(λx-f(x)).
  • (a)

    Montrer que I* est un intervalle et que f* y est convexe.

  • (b)

    On suppose que f est de classe 𝒞1 et que f est strictement croissante. Montrer

    xI,f*(f(x))=xf(x)-f(x).

Solution

  • (a)

    Soient λ et μ deux éléments de I* et θ[0;1]. Étudions ξ=(1-θ)λ+θμ. Pour tout xI,

    λx-f(x)f*(λ)etμx-f(x)f*(μ).

    En multipliant ces deux équations respectivement par les réels positifs 1-θ et θ puis en sommant, on obtient

    ξx-f(x)(1-θ)f*(λ)+θf*(μ).

    Ainsi, ξI* et f(ξ)(1-θ)f*(λ)+θf*(μ). On en déduit que I* est un intervalle et f* est convexe.

  • (b)

    La fonction f est convexe et son graphe est donc au-dessus de chacune de ses tangentes. Pour aI, on a donc

    xI,f(x)f(a)+f(a)(x-a)

    soit

    xI,f(a)x-f(x)af(a)-f(a). (1)

    On en déduit que f(a) est élément de I* et

    f*(f(a))=supxI(f(a)x-f(x))af(a)-f(a).

    De plus, l’inégalité (1) est une égalité pour x=a et donc

    f*(f(a))=maxxI(f(a)x-f(x))=af(a)-f(a).

[<] Étude de convexité[>] Étude de fonctions

 
Exercice 10  1393  Correction  

Soit f: une fonction convexe strictement croissante.
Montrer que f tend vers + en +.

Solution

Par la convexité de f, pour tout x>1, on a

f(x)-f(0)xf(1)-f(0)

donc

f(x)(f(1)-f(0))x+f(0)x++.
 
Exercice 11  1394  

Soit f: une fonction convexe et majorée. Montrer que f est constante.

 
Exercice 12  3155  Correction  

Soit f:+ dérivable, concave et vérifiant f(0)0. Montrer que f est sous-additive c’est-à-dire

x,y+,f(x+y)f(x)+f(y).

Solution

Soit x+. Posons φ:+ définie par

φ(y)=f(x+y)-f(x)-f(y).

La fonction φ est dérivable et

φ(y)=f(x+y)-f(y).

Puisque f est concave, sa dérivée f est décroissante et donc

f(x+y)f(y).

On en déduit que φ est décroissante et puisque φ(0)0, la fonction φ est négative ce qui fournit l’inégalité demandé

 
Exercice 13  5326  Correction  

Soit f une fonction définie de vers .

  • (a)

    On suppose que la fonction f est convexe. Montrer que pour tout réel y, l’ensemble {x|f(x)y} est un intervalle.

  • (b)

    Que dire de la réciproque?

Solution

  • (a)

    Soit y un réel. Étudions I={x|f(x)y}.

    Méthode: On montre qu’une partie I de est un intervalle en vérifiant11 1 Voir le .

    (a,b)I2,a<b[a;b]I.

    Soient a et b deux éléments de I tels que a<b. Pour tout c[a;b], il existe λ[0;1] tel que c=(1-λ)a+λb. La convexité de f donne alors

    f(c)=f((1-λ)a+λb)(1-λ)f(a)+λf(b)(1-λ)y+λy=y

    (la dernière inégalité étant valable car les facteurs λ et 1-λ sont positifs). Ainsi, c est élément de I et l’on peut affirmer [a;b]I. On conclut alors que I est un intervalle.

  • (b)

    La réciproque est fausse: une fonction monotone vérifie la propriété étudiée mais n’est pas nécessairement convexe.

 
Exercice 14  3357   

Soit f:I une fonction convexe. Montrer que si f admet un minimum local en aI alors f admet un minimum global en a.

 
Exercice 15  1396   Correction  

Soit f: une fonction convexe. Montrer que f est continue.

Solution

Étudions la continuité en x0. Soit a,b tels que a<x0<b.
Quand xx0+:
x0<x<b donc τ(x0,x)τ(x0,b) puis

f(x)f(x0)+(x-x0)τ(x0,b)

et a<x0<x donc τ(a,x0)τ(x0,x) puis

f(x0)+(x-x0)τ(a,x0)f(x).

Par le théorème des gendarmes

f(x)f(x0).

Même étude pour xx0- puis la conclusion.

 
Exercice 16  1397   Correction  

Soit f: une fonction convexe.

  • (a)

    On suppose f+0. Montrer que f est positive.

  • (b)

    On suppose que f présente une droite asymptote en +. Cela signifie qu’il existe une droite d’équation y=px+q vérifiant

    f(x)-(px+q)x+0.

    Étudier la position de la courbe par rapport à cette asymptote.

Solution

  • (a)

    Soient a<b. Pour tout x>b, on a τ(a,x)τ(a,b). À la limite quand x+, 0τ(a,b).
    Par suite, f est décroissante et puisque f+0, on peut conclure f0.

  • (b)

    Posons y=px+q l’équation de l’asymptote engagée et considérons g:xf(x)-(px+q).
    La fonction g est convexe et g tend vers 0 en +. Par suite, g est positive et f est au dessus de son asymptote.

 
Exercice 17  4687   

Soit f:I une fonction convexe définie sur un intervalle I ouvert.

Montrer que f est dérivable à droite et à gauche en tout point x de I avec11 1 Ce résultat (qui n’est pas explicitement au programme) est souvent utilisé pour résoudre d’autres exercices comme par exemple le sujet 3049.

fg(x)fd(x).

En déduire que la fonction f est continue.

[<] Propriétés des fonctions convexes[>] Inégalités de convexité

 
Exercice 18  4683  

Étudier la convexité de la fonction f:xx2ex définie sur .

 
Exercice 19  1405   Correction  

Étudier la fonction

f:xx1-x2

afin d’en réaliser la représentation graphique.

Solution

f est définie sur [-1;1] et impaire, étude limitée à [0;1].
f est de classe 𝒞 sur [0;1[,

f(x)=1-2x21-x2 et f′′(x)=x(2x2-3)(1-x2)3/2

f présente une inflexion en 0, tangente y=x.
f présente un maximum en x=1/2 de valeur 1/2.
f(1)=0 et f(x)x1+, il y a une tangente verticale en 1.

plot(x*sqrt(1-x^2), x=-1..1);
Figure 1: La fonction xx1-x2

[<] Étude de fonctions[>] Inégalité arithmético-géométrique

 
Exercice 20  4684  

Montrer par un argument de convexité:

  • (a)

    x>-1,ln(1+x)x

  • (b)

    x[0;π/2],2πxsin(x)x.

 
Exercice 21  1398  Correction  

Observer les inégalités suivantes par un argument de convexité:

  • (a)

    x[0;π/2],2πxsin(x)x

  • (b)

    n,x0,xn+1-(n+1)x+n0

Solution

  • (a)

    La fonction xsin(x) est concave sur [0;π/2], la droite d’équation y=x est sa tangente en 0 et la droite d’équation y=2x/π
    supporte la corde joignant les points d’abscisses 0 et π/2.
    Le graphe d’une fonction concave est en dessous de ses tangentes et au dessus de ses cordes et cela fournit l’inégalité.

  • (b)

    La fonction xxn+1 est convexe sur + et sa tangente en 1 a pour équation

    y=(n+1)x-n.

    Le graphe d’une fonction convexe est au dessus de chacune de ses tangentes et cela fournit l’inégalité.

 
Exercice 22  1399  Correction  

Montrer que f:]1;+[ définie par f(x)=ln(ln(x)) est concave.
En déduire

(x,y)]1;+[2,ln(x+y2)ln(x)ln(y).

Solution

f est définie et de classe 𝒞 sur ]1;+[.

f(x)=1xln(x)etf′′(x)=-ln(x)+1(xln(x))20

f est concave.

Puisque f est concave,

f(x+y2)f(x)+f(y)2.

c’est-à-dire

ln(ln(x+y2))ln(ln(x))+ln(ln(y))2=ln(ln(x)ln(y)).

La fonction exp étant croissante,

ln(x+y2)ln(x)ln(y).
 
Exercice 23  1400  Correction  

Montrer

x1,,xn>0,n1x1++1xnx1++xnn.

Solution

La fonction f:x1x est convexe sur +* donc

f(x1++xnn)f(x1)++f(xn)n

d’où

nx1++xn1x1++1xnn

puis l’inégalité voulue.

 
Exercice 24  3172  

Soit a,b+ et t[0;1]. Montrer

atb1-tta+(1-t)b.
 
Exercice 25  1401  Correction  

Soient p,q>0 tels que

1p+1q=1.

Montrer que pour tout a,b>0 on a

app+bqqab.

Solution

La fonction xln(x) est concave. En appliquant l’inégalité de concavité entre ap et bq on obtient

ln(1pap+1qbq)1pln(ap)+1qln(bq)

puis l’inégalité voulue.

 
Exercice 26  1404   Correction  

(Inégalité de Hölder)

Soient p,q>0 tels que

1p+1q=1.
  • (a)

    En exploitant la concavité de xln(x), établir que pour tout a,b+, on a

    apbqap+bq.
  • (b)

    Soient a1,a2,b1,b2+, déduire de ce qui précède:

    a1b1a1p+a2ppb1q+b2qq1pa1pa1p+a2p+1qb1qb1q+b2q.
  • (c)

    Conclure que

    a1b1+a2b2a1p+a2ppb1q+b2qq.
  • (d)

    Plus généralement, établir que pour tout n et tous a1,,an,b1,,bn,

    i=1naibii=1naippi=1nbiqq.

Solution

  • (a)

    Par la concavité de xln(x), on a pour tout a,b>0 et tout λ[0;1] l’inégalité:

    λln(a)+(1-λ)ln(b)ln(λa+(1-λ)b).

    Appliquée à λ=1/p, elle donne

    ln(apbq)ln(ap+bq)

    puis l’inégalité voulue. Enfin celle-ci reste vraie si a=0 ou b=0.

  • (b)

    Il suffit d’appliquer l’inégalité précédente à

    a=a1pa1p+a2p et b=b1qb1q+b2q.
  • (c)

    De même, on a aussi

    a2b2a1p+a2ppb1q+b2qq1pa2pa1p+a2p+1qb2qb1q+b2q

    donc en sommant les inégalités obtenues puis en simplifiant on obtient celle voulue.

  • (d)

    En reprenant l’inégalité du a) avec

    a=ajpi=1naip et b=bjqi=1nbiq

    puis en sommant les inégalités obtenues, on obtient celle voulue.

 
Exercice 27  1403   
  • (a)

    Soient x1,,xn des réels positifs. Établir

    1+(k=1nxk)1/n(k=1n(1+xk))1/n.
  • (b)

    En déduire, pour tous réels positifs a1,,an,b1,,bn

    (k=1nak)1/n+(k=1nbk)1/n(k=1n(ak+bk))1/n.
 
Exercice 28  4688   

(Entropie et inégalité de Gibbs)

On dit que p=(p1,,pn) est une distribution de probabilité de longueur n lorsque les pi sont des réels strictement positifs de somme égale à 1. On introduit alors l’entropie de cette distribution définie par

H(p)=-i=1npiln(pi).
  • (a)

    Soit p une distribution d’entropie de longueur n. Vérifier

    0H(p)ln(n).
  • (b)

    Soit q une autre distribution d’entropie de longueur n. Établir l’inégalité de Gibbs

    H(p)-i=1npiln(qi).
 
Exercice 29  2823     MINES (MP)

(Inégalité de Jensen intégrale)

Soit f:I une fonction convexe continue11 1 Lorsqu’une fonction convexe est définie sur un intervalle ouvert, elle est assurément continue (voir le sujet 4687). et g:[a;b] une fonction continue à valeurs dans I.

Montrer

f(1b-aabg(t)dt)1b-aabf(g(t))dt.
 
Exercice 30  2640   Correction  

(Inégalité d’entropie)

Soit φ:I convexe et dérivable sur I intervalle non singulier.

  • (a)

    Établir que pour tout a,xI on a l’inégalité

    φ(x)φ(a)+φ(a)(x-a).
  • (b)

    Soit f:[0;1]I continue. Établir

    φ(01f(t)dt)01φ(f(t))dt.
  • (c)

    Soit f:[0;1] continue, strictement positive et d’intégrale égale à 1. Montrer

    01f(t)ln(f(t))dt0.
  • (d)

    Soient f,g:[0;1] continues, strictement positives et d’intégrales sur [0;1] égales à 1. En justifiant et en exploitant l’inégalité xln(x)x-1 pour x>0, montrer

    01f(t)ln(f(t))dt01f(t)ln(g(t))dt.

Solution

  • (a)

    φ étant convexe, la courbe est au dessus de chacune de ses tangentes.

  • (b)

    Posons a=01f(u)duI et considérons x=f(t)I: φ(f(t))φ(a)+φ(a)(f(t)-a)
    En intégrant sur [0;1], on obtient

    01φ(f(t))dtφ(01f(u)du)

    car

    01φ(a)(f(t)-a)dt=φ(a)(01f(t)dt-01f(u)du)=0.
  • (c)

    φ:xxln(x) est convexe sur I=+* car φ(x)=1+ln(x) croît avex x. L’inégalité précédente donne alors

    001f(t)ln(f(t))dt

    puisque 01f(t)dt=1 annule φ.

  • (d)

    xxln(x) étant convexe et de tangente d’équation y=x-1 en 1, on a

    xln(x)x-1 pour tout x>0.

    Par suite,

    01f(t)ln(f(t))dt-01f(t)ln(g(t))dt =01f(t)g(t)ln(f(t)g(t))g(t)dt
    01(f(t)g(t)-1)g(t)dt=0.
 
Exercice 31  4689    

Soit f:[0;1] une fonction convexe dérivable. Montrer11 1 Ce résultat permet d’estimer la qualité de l’approximation de la valeur d’une intégrale d’une fonction convexe par l’aire d’un trapèze.

0f(0)+f(1)2-01f(t)dtf(1)-f(0)8.
 
Exercice 32  2942      X (MP)Correction  

Soit f:[0;1] continue, concave et vérifiant f(0)=1. Établir

01xf(x)dx23(01f(x)dx)2.

Solution

Par un argument géométrique (trapèze sous la courbe) la concavité donne

xf(0)+f(x)20xf(t)dt.

On en déduit xf(x)20xf(t)dt-x donc

01xf(x)dx2x=01(t=0xf(t)dt)dx-12 (1).

Or

x=01t=0xf(t)dtdx=t=01x=t1f(t)dxdt=t=01(1-t)f(t)dt=01f(t)dt-01tf(t)dt.

La relation (1) donne alors

301xf(x)dx201f(t)dt-12 (2).

Enfin

2(01f(t)dt-12)20

donne

2(01f(t)dt)2201f(t)dt-12 (3).

Les relations (2) et (3) permettent alors de conclure.

[<] Inégalités de convexité

 
Exercice 33  4685  

(Inégalité arithmético-géométrique)

Soit a1,,an des réels positifs. Montrer

a1a2ann1n(a1+a2++an).
 
Exercice 34  4058   

Soit x1,x2,,xn des réels strictement positifs. Montrer

x1x2+x2x3++xn-1xn+xnx1n.
 
Exercice 35  4691   

Soient x1,x2,,xp des réels positifs vérifiant x1x2xp=1 et n un naturel. Montrer

i=1p(n+xi)(n+1)p.


Édité le 08-11-2019

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