[>] Continuité

 
Exercice 1  1735  

Étudier les limites en (0,0) des fonctions suivantes:

  • (a)

    f(x,y)=x2y2x2+y2

  • (b)

    f(x,y)=x2-y2x2+y2

  • (c)

    f(x,y)=xyx-y.

 
Exercice 2  1736  Correction  

Étudier les limites en (0,0) des fonctions suivantes:

  • (a)

    f(x,y)=x3y

  • (b)

    f(x,y)=x+2yx2-y2

  • (c)

    f(x,y)=x2+y2|x|+|y|

Solution

  • (a)

    On a

    f(0,1/n)n+0 avec (0,1/n)n+(0,0)

    Aussi,

    f(1/n,1/n3)n+1 avec (1/n,1/n3)n+(0,0)

    Ces deux limites étant distinctes, la fonction f ne peut admettre de limite en (0,0).

  • (b)

    On a

    f(0,-1/n)=2nn++ avec (0,-1/n)n+(0,0)

    Aussi

    f(0,1/n)=-2nn+- avec (0,1/n)n+(0,0)

    Ces deux limites étant distinctes, la fonction f ne peut admettre de limite en (0,0).

  • (c)

    On remarque

    0f(x,y)x2+2|x||y|+y2|x|+|y|=|x|+|y|(x,y)(0,0)0

    Par encadement, on conclut que f est de limite nulle.

 
Exercice 3  478  Correction  

Étudier les limites en (0,0) des fonctions suivantes:

  • (a)

    f(x,y)=x3+y3x2+y2

  • (b)

    f(x,y)=xyx4+y4

  • (c)

    f(x,y)=x2yx4+y2

  • (d)

    f(x,y)=xyx-y

Solution

  • (a)

    On écrit x=rcos(θ) et y=rsin(θ) avec r=x2+y20 et alors

    f(x,y)=r(cos3(θ)+sin3(θ))(x,y)(0,0)0.
  • (b)

    f(1/n,0)0 et f(1/n,1/n3)1. La fonction f n’a pas de limite en (0,0).

  • (c)

    f(1/n,0)=00 et f(1/n,1/n2)=1/21/2. La fonction f n’a pas de limite en (0,0).

  • (d)

    f(1/n,0)=00 et f(1/n+1/n2,1/n)=1/n2+1/n31/n21. La fonction f n’a pas de limite en (0,0).

 
Exercice 4  68  Correction  

Étudier les limites en (0,0) des fonctions suivantes:

  • (a)

    f(x,y)=sin(xy)x2+y2

  • (b)

    f(x,y)=1-cos(xy)xy2

  • (c)

    f(x,y)=xy=eyln(x)

  • (d)

    f(x,y)=sh(x)sh(y)x+y

Solution

  • (a)

    |f(x,y)||xy|x2+y2=r|sin(θ)cos(θ)|(x,y)(0,0)0

  • (b)

    f(x,y)=x1-cos(xy)x2y2 or limt01-cos(t)t2=12 donc f(x,y)(x,y)(0,0)0.

  • (c)

    f(1/n,0)1 et f(1/n,1/ln(n))1/e. Pas de limite en (0,0).

  • (d)

    Quand x0, f(x,-x+x3)-1x. La fonction f n’a pas de limite en (0,0).

 
Exercice 5  1737  Correction  

Soient f: une fonction de classe 𝒞1 et F:2{(0,0)} définie par

F(x,y)=f(x2+y2)-f(0)x2+y2.

Étudier la limite de F en (0,0).

Solution

Par le théorème des accroissements finis, il existe cx,y]0;x2+y2[ tel que

F(x,y)=f(cx,y).

Par encadrement,

cx,y(x,y)(0,0)0

puis, par composition,

F(x,y)(x,y)(0,0)f(0).
 
Exercice 6  480  Correction  

Soit f:+×+* définie par f(x,y)=xy pour x>0 et f(0,y)=0.

  • (a)

    Montrer que f est une fonction continue.

  • (b)

    Est-il possible de la prolonger en une fonction continue sur +×+?

Solution

  • (a)

    f(x,y)=exp(yln(x)) est continue sur +*×+* par opérations sur les fonctions continues.
    Il reste à étudier la continuité aux points (0,b) avec b>0.
    Quand (x,y)(0,b) avec (x,y)+*×+* on a yln(x)- et donc f(x,y)=xy0.
    D’autre part, quand (0,y)(0,b), on a f(x,y)=00.
    Ainsi f est continue en (0,b).

  • (b)

    Si l’on peut prolonger f par continuité à +×+ alors
    d’une part f(0,0)=limy0f(0,y)=0 et d’autre part f(0,0)=limx0f(x,x)=1. C’est absurde.

[<] Limites[>] Lipchitzianité

 
Exercice 7  4690  

Justifier la continuité sur 2 de la fonction f:(x,y)ln(1+x2+y4)e-xy.

 
Exercice 8  5059  

On note 𝒮2() l’espace des matrices symétriques de taille 2. Montrer la continuité de l’application φ qui à M𝒮2() associe le couple (λ1,λ2)2 formé des deux valeurs propres de M avec λ1λ2.

 
Exercice 9  4694  

Montrer la continuité de l’application déterminant An(𝕂)det(A).

 
Exercice 10  4696  

Montrer la continuité de l’application qui à une matrice M de GLn(𝕂) associe son inverse.

 
Exercice 11  4693  

Soit f définie de 2 vers par

f(x,y)=xyx2+y2 si (x,y)(0,0)etf(0,0)=0.
  • (a)

    Montrer que f est continue en la variable x pour chaque y de et inversement.

  • (b)

    Montrer que f n’est pas continue en (0,0).

 
Exercice 12  481   

Soit A une partie non vide d’un espace normé E. Pour xE, on pose

d(x,A)=inf{x-a|aA}.

Montrer que l’application xd(x,A) est définie et continue sur E.

 
Exercice 13  1738   Correction  

Soit f:2 définie par

f(x,y)={12x2+y2-1 si x2+y2>1-12x2 sinon.

Montrer que f est continue.

Solution

Notons

D={(x,y)2|x2+y2>1} et E={(x,y)2|x2+y21}

f est continue en chaque point de D et E.
Soit (x0,y0) tel que x02+y02=1 (à la jonction de D et E).
Quand (x,y)(x0,y0) avec (x,y)D, on a

f(x,y)12x02+y02-1=-12x02=f(x0,y0).

Quand (x,y)(x0,y0) avec (x,y)E, on a

f(x,y)-12x02=f(x0,y0).

Finalement, lim(x,y)(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0) et donc f est continue en.

 
Exercice 14  1739    

Soient f: une fonction de classe 𝒞1 et F:2 la fonction définie par

F(x,y)={f(y)-f(x)y-x si yxf(x) si y=x.

Montrer que la fonction F est continue sur 2.

 
Exercice 15  1112   Correction  

Soient E1 et E2 deux parties fermés d’un espace vectoriel normé E telles que

E=E1E2.

Montrer qu’une application f:EF est continue si, et seulement si, ses restrictions f1 et f2 au départ de E1 et de E2 le sont.

Solution

L’implication directe est immédiate. Inversement, supposons f1 et f2 continue.
Soit aE.
Si aE1E2 alors la continuité de f1 et de f2 donne

f(x)xa,xE1f(a)

et

f(x)xa,xE2f(a)

donc

f(x)xa,xEf(a).

Si aE1E2 alors il existe α>0 tel que B(a,α)EE2 et donc B(a,α)E1. Puisque f coïncide avec la fonction continue f1 sur un voisinage de a, on peut conclure que f est continue en a.
Le raisonnement est semblable si aE2E1 et tous les cas ont été traités car E=E1E2.

 
Exercice 16  1741  Correction  

Soient A une partie convexe non vide de 2 et f:A une fonction continue.

Soient a et b deux points de A et y un réel tels que f(a)yf(b).

Montrer qu’il existe xA tel que f(x)=y.

Solution

Soit φ:[0;1]2 définie par φ(t)=a+t.(b-a).

Par composition, fφ est continue sur le segment [0;1]. Comme (fφ)(0)=f(a) et (fφ)(1)=f(b), par le théorème des valeurs intermédiaire, il existe t[0;1] tel que (fφ)(t)=y. Pour x=φ(t)A, on a y=f(x).

 
Exercice 17  482   Correction  

Soient g:2 continue et 𝒞 un cercle de centre O et de rayon R>0.

  • (a)

    Montrer qu’il existe deux points A et B de 𝒞 diamétralement opposés tels que g(A)=g(B).

  • (b)

    Montrer qu’il existe deux points C et D de 𝒞, se déduisant l’un de l’autre par un quart de tour tels que g(C)=g(D).

Solution

  • (a)

    Soit f:tg(Rcos(t),Rsin(t)). f est continue et 2π périodique.
    Soit h:tf(t+π)-f(t). h est continue et h(0)+h(π)=f(2π)-f(0)=0 donc h s’annule.

  • (b)

    Soit h:tf(t+π/2)-f(t). h est continue et h(0)+h(π/2)+h(π)+h(3π/2)=0 donc h s’annule.

 
Exercice 18  5246   

Soit n un entier au moins égal à 2.

  • (a)

    Pour An(), montrer que le segment d’extrémités In et A ne contient qu’un nombre fini de matrices non inversibles.

  • (b)

    Montrer que toute matrice non inversible de n() peut s’exprimer comme limite d’une suite de matrices inversibles.

  • (c)

    Soient A,Bn() et λ. Établir11 1 En d’autres termes, les polynômes caractéristiques de AB et BA sont égaux. On pourra consulter aussi le sujet 4352.

    det(λIn-AB)=det(λIn-BA).

    On pourra commencer par étudier le cas où la matrice A est inversible.

[<] Continuité[>] Continuité et linéarité

 
Exercice 19  1734   Correction  

Soient A une partie non vide de 2 et x un point de 2. On note

d(x,A)=infaAx-a.

Montrer que l’application d:2 est lipschitzienne.

Solution

Pour tout aA,

d(x,A)x-ax-y+y-a

donc

d(x,A)-x-yd(y,A)

puis

d(x,A)-d(y,A)x-y.

Par symétrie,

|d(x,A)-d(y,A)|x-y.

Ainsi xd(x,A) est lipschitzienne.

 
Exercice 20  475   Correction  

Soit E l’espace formé des fonctions réelles définies sur [a;b], lipschitziennes et s’annulant en a.
Montrer que l’application N:E qui à fE associe le réel

N(f)=inf{k+|(x,y)[a;b]2,|f(x)-f(y)|k|x-y|}

définit une norme sur E.

Solution

L’ensemble

A={k+|x,y[a;b],|f(x)-f(y)|k|x-y|}

est une partie de , non vide (car f est lipschitzienne) et minorée par 0.
Par suite, N(f)=infA existe.
Montrons que cet inf est en fait un min.
Pour x,y[a;b] distincts, on a pour tout kA,

|f(x)-f(y)||x-y|k.

En passant à la borne inférieure, on obtient

|f(x)-f(y)||x-y|N(f)

puis

|f(x)-f(y)|N(f)|x-y|.

Cette identité est aussi valable quand x=y et donc N(f)A. Par conséquent, l’application N:E+ est bien définie. Supposons N(f)=0. Pour tout x[a;b],

|f(x)|=|f(x)-f(a)|0.|x-a|

et donc f=0.
Pour λ=0, on a évidemment N(λf)=|λ|N(f).
Pour λ0 et x,y[a;b], l’inégalité

|f(x)-f(y)|N(f)|x-y|

entraîne

|λf(x)-λf(y)||λ|N(f)|x-y|.

On en déduit N(λf)|λ|N(f).
Aussi, l’inégalité

|λf(x)-λf(y)|N(λf)|x-y|

entraîne

|f(x)-f(y)|N(λf)|λ||x-y|.

On en déduit N(f)N(λf)/|λ| et finalement N(λf)=|λ|N(f).
Enfin, pour x,y[a;b],

|(f+g)(x)-(f+g)(y)| |f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)|
(N(f)+N(g))|x-y|

donc N(f+g)N(f)+N(g).

 
Exercice 21  3052   Correction  

Soient A une partie bornée non vide d’un espace vectoriel normé (E,N) et le sous-espace vectoriel des applications lipschitziennes de A dans E.

  • (a)

    Montrer que les éléments sont des fonctions bornées.

  • (b)

    Pour f, soit

    Kf={k+|(x,y)A2,N(f(x)-f(y))kN(x-y)}.

    Justifier l’existence de c(f)=infKf puis montrer c(f)Kf.

  • (c)

    Soient aA et Na:+ définie par

    Na(f)=c(f)+N(f(a)).

    Montrer que Na est une norme sur .

  • (d)

    Soient a,bA. Montrer que les normes Na et Nb sont équivalentes.

Solution

  • (a)

    Soient x0A et M tels que pour tout xA, xM.
    Pour f, en notant k le rapport de lipschitzianité de f,

    f(x)f(x0)+f(x)-f(x0)f(x0)+kx-x0f(x0)+2kM.
  • (b)

    L’ensemble Kf est une partie de , non vide (car f est lipschitzienne) et minorée par 0.
    On en déduit que c(f)=infKf existe dans +.
    Pour x,yA distincts, on a pour tout kKf

    N(f(x)-f(y))N(x-y)k.

    En passant à la borne inférieure, on en déduit

    N(f(x)-f(y))N(x-y)c(f)

    et donc N(f(x)-f(y))c(f)N(x-y) et cette relation est aussi valable quand x=y.
    Ainsi, c(f)Kf

  • (c)

    L’application Na est bien définie de vers +.

    Si Na(f)=0 alors c(f)=0 et N(f(a))=0. Par suite, f est constante et f(a)=0 donc f est la fonction nulle.

    Pour λ et f,

    Na(λf)=c(λf)+|λ|N(f(a))

    Montrons c(λf)=|λ|c(f).

    Cas: λ=0. La propriété est immédiate.

    Cas: λ0. Pour tous x,yA,

    N(f(x)-f(y))c(f)N(x-y)

    donne

    N(λf(x)-λf(y))|λ|c(f)N(x-y).

    On en déduit c(λf)|λ|c(f).

    De façon symétrique, on obtient c(f)c(λf)/|λ| et l’on peut conclure c(λf)=|λ|c(f). On en déduit Na(λf)=|λ|Na(f).

    Soient f,g.

    Na(f+g)N(f(a))+N(g(a))+c(f+g).

    Montrons c(f+g)c(f)+c(g). Pour tous x,yA,

    N((f+g)(x)-(f+g)(y))N(f(x)-f(y))+N(g(x)-g(y))(c(f)+c(g))N(x-y).

    On en déduit c(f+g)c(f)+c(g) et leon peut conclure Na(f+g)Na(f)+Na(g).

    Finalement, Na est une norme sur .

  • (d)

    Pour f,

    N(f(a))N(f(b))+N(f(a)-f(b))N(f(b))+a-bc(f).

    On en déduit

    Na(1+a-b)Nb

    et de façon symétrique,

    Na(1+b-a)Na.
 
Exercice 22  476   Correction  

Soient E un espace vectoriel normé et T:EE définie par

T(u)={u si u1uu sinon.

Montrer que T est au moins 2-lipschitzienne.

Solution

Pour u,vB(0,1), on a

T(u)-T(v)=u-v2u-v.

Pour u,vB(0,1), on a

T(u)-T(v)=uu-vv=vu-uvuv

or

vu-uv=v(u-v)+(v-u)v

donc

T(u)-T(v)u-vu+|v-u|u2u-v

car |v-u|v-u et u1.
Pour uB(0,1) et vB(0,1),

T(u)-T(v)=u-vv=vu-vv=|v-1|u+u-vv2u-v

car |v-1|=v-1v-uv-u et v1

 
Exercice 23  477     CENTRALE (MP)Correction  

Soit E un espace vectoriel réel normé. On pose

f(x)=1max(1,x)x.

Montrer que f est 2-lipschitzienne.
Montrer que si la norme sur E est hilbertienne alors f est 1-lipschitzienne.

Solution

Si x,y1 alors f(y)-f(x)=y-x.
Si x1 et y>1 alors

f(y)-f(x)=yy-x=yy-y+y-xy-1+y-x2y-x.

Si x,y>1 alors

f(y)-f(x)=yy-xx=y-xy+x(1y-1x)y-xy+|x-y|y2y-x.

Au final f est 2-lipschitzienne.
Supposons maintenant que la norme soit hilbertienne.
Si x,y1 alors

f(y)-f(x)=y-x.

Si x1 et y>1 alors

f(y)-f(x)2-y-x2=1-y2-2y-1y(xy).

Or |(xy)|xyy donc

f(y)-f(x)2-y-x21-y2+2(y-1)=-(1-y)20.

Si x,y>1 alors

f(y)-f(x)2-y-x2=2-y2-x2-2xy-1xy(xy).

Or |(xy)|xy donc

f(y)-f(x)2-y-x2=2-y2-x2+2(xy-1)=-(x-y)20.

Au final f est 1-lipschitzienne.

[<] Lipchitzianité[>] Connexité par arcs

 
Exercice 24  3786    CCP (MP)Correction  

On munit E=p() de la norme

M=max1i,jp|mi,j|.
  • (a)

    Soient X fixé dans p et P fixé dans GLp(). Montrer la continuité des applications ϕ,ψ:EE définies par

    ϕ(M)=MXetψ(M)=P-1MP.
  • (b)

    Montrer la continuité de l’application f:E×EE définie par

    f(M,N)=MN.

Solution

  • (a)

    Les applications ϕ et ψ sont linéaires au départ d’un espace de dimension finie donc continues.

  • (b)

    L’application f est bilinéaire au départ d’un produit d’espaces de dimensions finies donc continue.

 
Exercice 25  3913  Correction  

Soit E=𝒞([0;1],) muni de .
Montrons que l’application u:fu(f)u(f)(x)=f(0)+x(f(1)-f(0)) est un endomorphisme continu de E.

Solution

u est clairement un endomorphisme de E.

u(f)(x)=(1-x)f(0)+xf(1)

donc

|u(f)(x)|(1-x)|f(0)|+x|f(1)|(1-x)f+xf=f.

Ainsi, u(f)f. L’endomorphisme u est continu.

 
Exercice 26  3907  Correction  

On note E=() l’espace vectoriel normé des suites réelles bornées muni de la norme N. Pour u=(un)() on pose T(u) et Δ(u) les suites définies par

T(u)n=un+1etΔ(u)n=un+1-un.

Montrer que les applications T et Δ sont des endomorphismes continus de E.

Solution

Pour montrer qu’une application linéaire f(E,E) est continue, il suffit de déterminer k vérifiant f(x)kx pour tout xE.

Pour toute suite u=(u(n))(), on a pour tout naturel n

|T(u)(n)|=|u(n+1)|supn|u(n)|=u.

La suite T(u) est effectivement bornée et

T(u)=supn|T(u)|1×u.

L’application linéaire T est donc continue.

On obtient de même que l’application linéaire Δ est continue en observant

|Δ(u)(n)|=|u(n+1)-u(n)||u(n+1)|+|u(n)|2u.

On peut aussi justifier que l’endomorphisme Δ est continu par différence de fonctions continues sachant Δ=T-IdE avec T et IdE endomorphismes continus.

 
Exercice 27  3908  Correction  

Soit E=𝒞([0;1],) muni de définie par

f=sup[0;1]|f|.

Étudier la continuité de la forme linéaire φ:ff(1)-f(0).

Solution

Pour tout fE,

|φ(f)||f(1)|+|f(0)|2f

donc φ est continue.

 
Exercice 28  3911  Correction  

Soit E=𝒞([0;1],) muni de 1 définie par

f1=01|f(t)|dt.

Étudier la continuité de la forme linéaire

φ:f01tf(t)dt.

Solution

Pour tout fE,

|φ(f)|=01|tf(t)|dtf1

donc φ est continue.

 
Exercice 29  3909  Correction  

Soient E=𝒞0([0;1],) et F=𝒞1([0;1],). On définit N1 et N2 par

N1(f)=fetN2(f)=f+f.

On définit T:EF en posant, pour tout f:[0;1], T(f):[0;1] est donnée par

T(f)(x)=0xf(t)dt.

Montrer que T est une application linéaire continue.

Solution

L’application T est bien définie et est clairement linéaire. Pour tout x[0;1], |T(f)(x)|xN1(f) donc

N2(T(f))=T(f)+f2N1(f).

Ainsi, T est continue.

 
Exercice 30  3910  Correction  

On munit l’espace E=𝒞([0;1],) de la norme 2. Pour f et φ éléments de E, on pose

Tφ(f)=01f(t)φ(t)dt.

Montrer que Tφ est une forme linéaire continue.

Solution

Tφ:E est bien définie et est clairement linéaire. Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

|Tφ(f)|φ2f2

donc Tφ est continue.

 
Exercice 31  4695   

Sur l’espace E=𝒞([0;1],) des fonctions continues de [0;1] vers , on considère les normes

f1=01|f(t)|dtetf=supt[0;1]|f(t)|.

On considère aussi l’endomorphisme u de E qui envoie f sur la fonction u(f) déterminée par

u(f)(t)=f(t)-f(0).
  • (a)

    Montrer que l’endomorphisme u est continu pour la norme .

  • (b)

    Montrer que l’endomorphisme u n’est pas continu pour la norme 1.

  • (c)

    Les normes 1 et sont-elles équivalentes?

 
Exercice 32  3912   Correction  

Sur [X], on définit N1 et N2 par

N1(P)=k=0+|P(k)(0)|etN2(P)=supt[-1,1]|P(t)|.
  • (a)

    Montrer que N1 et N2 sont deux normes sur [X].

  • (b)

    Montrer que la dérivation est continue pour N1.

  • (c)

    Montrer que la dérivation n’est pas continue pour N2.

  • (d)

    N1 et N2 sont-elles équivalentes?

Solution

  • (a)

    L’application N1:[X]+ est bien définie car la somme se limite à un nombre fini de termes non nuls.
    Si N1(P)=0 alors

    k,P(k)(0)=0

    or

    P=k=0+P(k)(0)k!Xk

    donc P=0.
    Soient P,Q[X].

    N1(P+Q)=k=0+|P(k)(0)+Q(k)(0)|k=0+|P(k)(0)|+|Q(k)(0)|

    donc

    N1(P+Q)k=0+|P(k)(0)|+k=0+|Q(k)(0)|=N1(P)+N1(Q).

    Soient P[X] et λ

    N1(λP)=k=0+|λP(k)(0)|=|λ|k=0+|P(k)(0)|=|λ|N1(P).

    Finalement, N1 est une norme.

    L’application N2:[X]+ est bien définie car une fonction continue sur un segment y est bornée.
    Si N2(P)=0 alors

    t[-1;1],P(t)=0.

    Par infinité de racines P=0.
    Soient P,Q[X].

    N2(P+Q)=supt[-1;1]|P(t)+Q(t)|supt[-1;1]|P(t)|+|Q(t)|

    donc

    N2(P+Q)supt[-1;1]|P(t)|+supt[-1;1]|Q(t)|=N2(P)+N2(Q).

    Soient P[X] et λ.

    N2(λP)=supt[-1;1]|λP(t)|=supt[-1;1]|λ||P(t)|=|λ|supt[-1;1]|P(t)|=|λ|N2(P).

    Finalement, N2 est aussi norme.

  • (b)

    Notons D:[X][X] l’opération de dérivation.

    P[X],N1(D(P))=k=0+|D(P)(k)(0)|=k=0+|P(k+1)(0)|k=0+|Pk(0)|=N1(P)

    donc l’endomorphisme D est continu pour la norme N1.

  • (c)

    Soit Pn=Xn. On a D(Pn)=nXn-1 donc N2(Pn)=1 et N2(D(Pn))=n+.
    Par suite, l’endomorphisme D n’est pas continu pour N2.

  • (d)

    Par ce qui précède, les normes ne sont pas équivalentes. Néanmoins P=k=0+P(k)(0)k!Xk donc

    |P(t)|k=0+|P(k)(0)|k!N1(P)

    donc

    N2(P)N1(P).

    C’est là la seule (et la meilleure) comparaison possible.

 
Exercice 33  3914   Correction  

Pour a=(an)(,) et u=(un)1(,), on pose

a,u=n=0+anun.
  • (a)

    Justifier l’existence de a,u.

  • (b)

    Montrer que l’application linéaire φu:aa,u est continue.

  • (c)

    Même question avec ψa:ua,u.

Solution

  • (a)

    On a |anun|a|un| et |un| converge donc par comparaison de séries à termes positifs, anun est absolument convergente et donc convergente.

  • (b)

    Pour a(,) et u1(,),

    |a,u|n=0+|anun|n=0+a|un|=au1.

    On en déduit que l’application linéaire φu est continue.

  • (c)

    Par l’inégalité |a,u|au1, on obtient aussi que l’application linéaire ψa est continue.

 
Exercice 34  4697   

Déterminer deux normes sur l’espace E=[X], l’une pour laquelle l’endomorphisme de dérivation est continu, l’autre pour laquelle il ne l’est pas.

 
Exercice 35  485   Correction  

Soient E et F deux espaces vectoriels normés et f(E,F).
On suppose que, pour toute suite (un) tendant vers 0E, la suite (f(un)) est bornée.
Montrer que la fonction f est continue.

Solution

Par contraposée. Supposons que f ne soit pas continue. L’application linéaire f n’est donc pas continue en 0E et par suite il existe ε>0 vérifiant

α>0,xE,xα et f(x)>ε.

Pour α=1/n, il existe xnE tel que xn1/n et f(xn)>ε.
Considérons alors yn=nxn. On a yn1/n donc yn0 et f(yn)>nε+.
Ainsi, la suite (yn) est une suite convergeant vers 0E dont la suite image (f(yn)) n’est pas bornée.

 
Exercice 36  5432     MINES (MP)Correction  

Soient E un -espace vectoriel normé et f:EE une fonction bornée sur la boule unité fermée et vérifiant

(x,y)E2,f(x+y)=f(x)+f(y).

Montrer que f est un endomorphisme continue.

Solution

On veut établir

xE,λ,f(λ.x)=λ.f(x).

Avec x=y=0E, on établit f(0E)=0E.

Avec y=-x, on constate f(-x)=-f(x)

On peut alors montrer

xE,n,f(n.x)=n.f(x)

en commençant par résoudre le cas n par récurrence.

Soit λ. On écrit λ=p/q avec p et q*. Pour xE,

f(λ.x)=f(pq.x)=p.f(1q.x)etf(x)=f(qq.x)=q.f(1q.x).

On en déduit

f(λ.x)=pq.f(x)=λ.f(x).

Il s’agit maintenant d’étendre cette relation à λ réel. Pour cela, on commence par établir que f est continue en 0E.

Puisque f est bornée sur la boule unité fermée, il existe M+ tel que

xE,x1f(x)M.

Soit ε>0. Pour n* assez grand, on a M/nε et alors, pour tout xE,

x1n n.x1
f(n.x)M
nf(x)M
f(x)Mn
f(x)ε.

Ainsi, l’application f est continue en 0E puis en tout x0E car

f(x)-f(x0)=f(x-x0)xx0f(0E)=0E

Il reste à conclure quant à la linéarité. Considérons xE et λ. Il existe une suite (λn) de limite λ et alors, par continuité en λ.x

f(λn.x)n+f(λ.x).

Or

f(λn.x)=λnλn.f(x)n+λ.f(x).

Par unicité de la limite, on conclut

f(λ.x)=λ.f(x).
 
Exercice 37  486   Correction  

Montrer que N1 et N2 normes sur E sont équivalentes si, et seulement si, IdE est bicontinue de (E,N1) vers (E,N2).

Solution

La continuité de l’application linéaire IdE de (E,N1) vers (E,N2) équivaut à l’existence d’un réel α0 vérifiant N2(x)αN1(x) pour tout xE. La propriété annoncée est alors immédiate.

 
Exercice 38  2832     MINES (MP)Correction  

Soient d un entier naturel et (fn) une suite de fonctions polynomiales de dans de degré au plus d. On suppose qu’il existe des réels deux à deux distincts α0,,αd tels que chacune des suites (fn(α0)),,(fn(αd)) converge.

Montrer que la limite est polynomiale de degré au plus d, la convergence étant de plus uniforme sur tout segment.

Solution

Considérons φ:d[X]d+1 définie par

φ(P)=(P(α0),,P(αd)).

L’application φ est un isomorphisme de -espaces vectoriels de dimensions finies, c’est aussi une application linéaire continue car les espaces engagés sont de dimensions finies et il en est de même de φ-1.

En notant βi la limite de (fn(αi)), on a

φ(fn)n+(β0,,βd).

En notant P l’élément de d[X] déterminé par φ(P)=(β0,,βd)), on peut écrire

φ(fn)n+φ(P).

Par continuité de l’application φ-1,

fnn+P

En choisissant sur d[X], la norme ,[a;b], on peut affirmer que (fn) converge uniformément vers P sur le segment [a;b].

En particulier, (fn) converge simplement vers P et en substance P=f.

 
Exercice 39  4700    

(Norme triple)

On note c(E) l’espace des endomorphismes continus d’un espace normé E non réduit à 0E. Pour tout uc(E), on définit la norme triple de u par

|||u|||=supxE{0E}u(x)x.
  • (a)

    Soit uc(E). Vérifier que la borne supérieure définissant |||u||| existe et que, pour tout vecteur x de E,

    u(x)|||u|||x.
  • (b)

    Montrer que |||||| définit une norme sur c(E) et que, pour tous u,vc(E),

    |||uv||||||u||||||v|||.
  • (c)

    Application: Soient u et v deux endomorphismes continus de E tels qu’il existe λ dans 𝕂 pour lequel

    uv-vu=λ.IdE.

    Calculer unv-vun pour n* et en déduire que u et v commutent.

[<] Continuité et linéarité

 
Exercice 40  1147  Correction  

Montrer qu’un plan privé d’un nombre fini de points est connexe par arcs.

Solution

Notons P1,,Pn les points à exclure.
Considérons une droite 𝒟 ne passant par aucun des points P1,,Pn. Cette droite est une partie connexe.
Considérons un point A du plan autre que P1,,Pn. Il existe une infinité de droites passant par A et coupant la droite 𝒟. Parmi celles-ci, il y en a au moins une qui ne passe par les P1,,Pn. On peut dont relier A à un point de la droite 𝒟.
En transitant par cette droite, on peut alors relier par un tracé continu excluant les P1,,Pn, tout couple de points (A,B) autres que les P1,,Pn.

 
Exercice 41  1149  Correction  

Montrer que l’image d’un connexe par arcs par une application continue est connexe par arcs.

Solution

L’image d’un arc continu par une application continue est un arc continu. Ainsi, si X est connexe par arcs et f continue définie sur X alors pour tout f(x),f(y)f(X), l’image par f d’un arc continu reliant x et à y est un arc continue reliant f(x) à f(y) et donc f(X) est connexe par arcs.

 
Exercice 42  1152  

Soient A et B deux parties connexes par arcs d’un espace normé E.

  • (a)

    Montrer que A×B est connexe par arcs dans l’espace normé produit E×E.

  • (b)

    En déduire que A+B={a+b|aA,bB} est connexe par arcs.

 
Exercice 43  1156  

Montrer que l’ensemble 𝒟n formé des matrices diagonalisables de n() est connexe par arcs.

 
Exercice 44  4078  Correction  

On note 𝒩 l’ensemble des matrices de n() nilpotentes. Montrer que N est une partie étoilée.

Solution

On vérifie aisément

A𝒩,λ,λ.A𝒩.

On a donc immédiatement

A𝒩,[On;A]𝒩.

L’ensemble 𝒩 est donc étoilé en On (au surplus, c’est un ensemble connexe par arcs).

 
Exercice 45  4699   
  • (a)

    Montrer que GLn() n’est pas connexe par arcs.

  • (b)

    Montrer que GLn() est connexe par arcs.

 
Exercice 46  3867  Correction  

Montrer que SO2() est une partie connexe par arcs.

Solution

On sait

SO2()={(cos(θ)-sin(θ)sin(θ)cos(θ))|θ}.

Par ce paramétrage, on peut affirmer que SO2() est connexes par arcs, car image continue de l’intervalle par l’application

θ(cos(θ)-sin(θ)sin(θ)cos(θ))2().
 
Exercice 47  1148  Correction  

Montrer que l’union de deux connexes par arcs non disjoints est connexe par arcs.

Solution

Si les deux points à relier figurent dans un même connexe par arcs, le problème est résolu. Sinon, on transite par un point commun au deux connexes pour former un arc reliant ces deux points et inclus dans l’union.

 
Exercice 48  1155   Correction  

Soit E un espace vectoriel réel de dimension n2.

  • (a)

    Soit H un hyperplan de E. L’ensemble EH est-il connexe par arcs?

  • (b)

    Soit F un sous-espace vectoriel de dimension pn-2. L’ensemble EF est-il connexe par arcs?

Solution

  • (a)

    Non. Si on introduit f forme linéaire non nulle telle que H=Ker(f), f est continue et f(EH)=* non connexe par arcs donc EH ne peut l’être.

  • (b)

    Oui. Introduisons une base de F notée (e1,,ep) que l’on complète en une base de E de la forme (e1,,en).
    Sans peine tout élément x=x1e1++xnen de EF peut être lié par un chemin continue dans EF au vecteur en si xn>0 ou au vecteur -en si xn<0 (prendre x(t)=(1-t)x1e1++(1-t)xn-1en+((1-t)xn+t)en).
    De plus, les vecteurs en et -en peuvent être reliés par un chemin continue dans EF en prenant x(t)=(1-2t)en+(t-t2)en-1. Ainsi EF est connexe par arcs.

 
Exercice 49  1153   Correction  

Soient A et B deux parties fermées d’un espace vectoriel normé E de dimension finie. On suppose AB et AB connexes par arcs, montrer que A et B sont connexes par arcs.

Solution

Il nous suffit d’étudier la partie A.

Soient a,aA. Puisque AAB, il existe φ:[0;1]AB continue telle que φ(0)=a et φ(1)=a.

Si φ ne prend pas de valeurs dans B alors φ reste dans A et résout notre problème.

Sinon, posons

t0=inf{t[0;1]|φ(t)B}ett1=sup{t[0;1]|φ(t)B}.

L’application φ étant continue et les parties A et B étant fermées,

φ(t0),φ(t1)AB

La partie AB étant connexe par arcs, il existe ψ:[t0;t1]AB continue telle que ψ(t0)=φ(t0) et ψ(t1)=φ(t1). En considérant θ:[0;1] définie par θ(t)=ψ(t) si t[t0;t1] et θ(t)=φ(t) sinon, on a θ:[0;1]A continue avec θ(0)=a et θ(1)=a.

Ainsi, A est connexe par arcs.

 
Exercice 50  1154   Correction  

Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie n2.

  • (a)

    Montrer que la sphère unité S={xE|x=1} est connexe par arcs.

  • (b)

    À quelle condition l’intersection de deux sphères est-elle non vide?

Solution

  • (a)

    Soient a,bS.

    Cas: a-b. On peut affirmer que (1-λ).a+λ.b0 pour tout λ[0;1]. L’application

    γ:{[0;1]Etγ(t) avec γ(t)=1(1-t).a+t.b.((1-t).a+t.b)

    est alors un chemin joignant a à b inscrit dans S.

    Cas: a=-b. On transite par un point ca,b ce qui est possible car n2.

  • (b)

    Soient S1 et S2 des sphères de centres a1 et a2 et de rayons r1 et r2 réels strictement positifs.

    Analyse: Si S1S2 n’est pas vide, on peut introduire un élément x appartenant à cette intersection. L’inégalité triangulaire donne alors

    a2-a1=(a2-x)+(x-a1)a2-x+x-a1r1+r2.

    Aussi,

    r1=x-a1=(x-a2)+(a2-a1)r2+a2-a1.

    On obtient une propriété analogue en échangeant les rôles de r1 et r2 et, finalement, on parvient à la condition

    |r1-r2|a2-a1r1+r2.

    Synthèse: Supposons la condition précédente remplie et, quitte à échanger, supposons aussi r1r2. Considérons ensuite l’application δ qui à xS1 associe la distance de x à a2.

    Pour x1=a1+r1a2-a1.(a2-a1)S1, on a

    x1-a2=|a2-a1-r1|.

    Que la quantité dans la valeur absolue soit positive ou non, on obtient x1-a2r2.

    Pour x2=a1-r1a2-a1.(a2-a1)S1, on a

    x2-a2=a2-a1+r1r2.

    Par continuité de δ sur le connexe par arcs S1, il existe xS1 tel que x-a2=r2 ce qui détermine un élément de S1S2.

 
Exercice 51  1151  Correction  

Soit f:I injective et continue. Montrer que f est strictement monotone.

On pourra considérer l’application φ:(x,y)f(x)-f(y) définie sur X={(x,y)I2,x<y}.

Solution

X est une partie connexe par arcs (car convexe) et φ est continue donc φ(X) est une partie connexe par arcs de , c’est donc un intervalle.

De plus, 0φ(X) donc φ(X)+* ou φ(X)-* et l’on peut conclure.

 
Exercice 52  1150   Correction  

Soit f:I une fonction dérivable. On suppose que f prend des valeurs strictement positives et des valeurs strictement négatives et l’on souhaite établir que f s’annule.

  • (a)

    Établir que A={(x,y)I2,x<y} est une partie connexe par arcs de I2.

  • (b)

    On note δ:A l’application définie par δ(x,y)=f(y)-f(x). Établir que 0δ(A).

  • (c)

    Conclure en exploitant le théorème de Rolle

Solution

  • (a)

    A est une partie convexe donc connexe par arcs.

  • (b)

    L’application δ est continue donc δ(A) est connexe par arcs c’est donc un intervalle de . Puisque f prend des valeurs strictement positives et strictement négative, la fonction f n’est pas monotone et par conséquent des valeurs positives et négatives appartiennent à l’intervalle δ(A). Par conséquent, 0δ(A).

  • (c)

    Puisque 0δ(A), il existe a<bI tels que f(a)=f(b). On applique le théorème de Rolle sur [a;b] avant de conclure.

 
Exercice 53  3737   

(Théorème de Darboux)

Soit f:I une fonction dérivable définie sur un intervalle I de .

  • (a)

    Montrer que U={(x,y)I2|x<y} est une partie connexe par arcs de 2.

On note τ:U l’application définie par

τ(x,y)=f(y)-f(x)y-x.
  • (b)

    Justifier τ(U)f(I)τ(U)¯.

  • (c)

    En déduire que f(I) est un intervalle11 1 En conséquence, bien qu’une fonction dérivée ne soit pas forcément une fonction continue, elle satisfait l’affirmation du théorème des valeurs intermédiaires. de .



Édité le 08-11-2019

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