[>] Résolution d'équations d'ordre 2

 
Exercice 1  4804  

Résoudre sur l’équation différentielle

(E):y-sin(x)y=0.
 
Exercice 2  1541  Correction  

Résoudre sur les équations différentielles suivantes:

  • (a)

    y+2y=x2

  • (b)

    y+y=2sin(x)

  • (c)

    y-y=(x+1)ex

  • (d)

    y+y=x-ex+cos(x)

Solution

  • (a)

    y(x)=12x2-12x+14+Ce-2x.

  • (b)

    y(x)=-cos(x)+sin(x)+Ce-x.

  • (c)

    y(x)=(x2/2+x)ex+Cex.

  • (d)

    y(x)=x-1-12ex+12cos(x)+12sin(x)+Ce-x.

 
Exercice 3  4805  

Résoudre sur l’équation différentielle

(E):y+2xy=x.
 
Exercice 4  4806  

Résoudre sur l’équation différentielle

(E):y+2x1+x2y=1.
 
Exercice 5  1281  Correction  

Résoudre sur ]-1;1[ l’équation différentielle suivante

1-x2y+y=1.

Solution

On obtient la solution générale

y(x)=1+Cearccos(x)

ou encore, et c’est équivalent

y(x)=1+Ce-arcsin(x).
 
Exercice 6  4807  

Résoudre sur ]-1;1[ l’équation différentielle

(E):(1-x2)y-xy=1-x2.
 
Exercice 7  1543  Correction  

Soit α. Résoudre sur I=+* ou -* l’équation différentielle

xy-αy=0.

Solution

Sur I,

xy-αy=0y=αxy.

C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 1 homogène.

αxdx=αln(|x|)

donc la solution générale de l’équation étudiée est

y(x)=C|x|α.
 
Exercice 8  1542  Correction  

Résoudre sur les équations différentielles suivantes:

  • (a)

    (x2+1)y+2xy+1=0

  • (b)

    (x2+1)y-xy=(x2+1)3/2

  • (c)

    (x2+1)2y+2x(x2+1)y=1

Solution

  • (a)

    y(x)=C-x1+x2

  • (b)

    y(x)=1+x2(C+x)

  • (c)

    y(x)=C+arctan(x)1+x2

 
Exercice 9  1280  Correction  

Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles spécifiés:

  • (a)

    (1+ex)y+exy=(1+ex) sur

  • (b)

    (ex-1)y+exy=1 sur +* et -*,

  • (c)

    x(1+ln2(x))y+2ln(x)y=1 sur +*

Solution

  • (a)

    y(x)=C+x+ex1+ex

  • (b)

    y(x)=C+xex-1

  • (c)

    y(x)=C+ln(x)(1+ln2(x))

 
Exercice 10  1379  Correction  

Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles spécifiés:

  • (a)

    (2+cos(x))y+sin(x)y=(2+cos(x))sin(x) sur

  • (b)

    (1+cos2(x))y-sin(2x)y=cos(x) sur

  • (c)

    ysin(x)-ycos(x)+1=0 sur ]0;π[,

  • (d)

    (sin(x))3y=2(cos(x))y sur ]0;π[.

Solution

  • (a)

    y(x)=(2+cos(x))(C-ln(2+cos(x)))

  • (b)

    y(x)=C+sin(x)1+cos2(x)

  • (c)

    y(x)=Csin(x)+cos(x)

  • (d)

    y(x)=Ce-1/sin2(x)

 
Exercice 11  1434  Correction  

Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles spécifiés:

  • (a)

    ch(x)y-sh(x)y=sh3(x) sur

  • (b)

    y-sh(x)1+ch(x)y=sh(x) sur

  • (c)

    sh(x)y-ch(x)y=1 sur +* et -*,

Solution

  • (a)

    y(x)=ch2(x)+1+Cch(x)

  • (b)

    y(x)=(ln(1+ch(x))+C)(1+ch(x))

  • (c)

    y(x)=Csh(x)-ch(x)

 
Exercice 12  4808   

Résoudre sur les intervalles précisés les équations différentielles suivantes:

  • (a)

    y+tan(x)y=sin(2x) sur ]-π/2;π/2[.

  • (b)

    (x2+1)2y+2x(x2+1)y=1 sur .

  • (c)

    (1+ex)y-exy=ex sur .

  • (d)

    x(1+ln2(x))y+2y=0 sur +*.

  • (e)

    ch(x)y-sh(x)y=1 sur .

 
Exercice 13  1544   

Former une équation différentielle linéaire du premier ordre dont les fonctions solutions sont les fonctions fλ: données par

fλ(x)=x+λ1+x2 avec λ.
 
Exercice 14  4809    

Résoudre sur l’équation différentielle

(E):y+y=max(x,0).

[<] Résolution d'équations d'ordre 1[>] Problème de Cauchy

 
Exercice 15  1549  

Résoudre sur les équations différentielles suivantes:

  • (a)

    y′′-3y+2y=0

  • (b)

    y′′+4y+4y=0

  • (c)

    y′′-2y+5y=0

  • (d)

    y′′+y=0.

 
Exercice 16  4814  

Déterminer les fonctions complexes solutions sur de l’équation différentielle

(E):y′′-(1+3i)y-4y=0.
 
Exercice 17  4815  

Soit ω un réel strictement positif.

Exprimer simplement la solution générale de l’équation y′′-ω2y=0 à l’aide des fonctions hyperboliques ch et sh.

 
Exercice 18  4816  

Résoudre sur l’équation différentielle

(E):y′′+y+y=1+2e-2x.
 
Exercice 19  1450  

Résoudre sur les équations différentielles suivantes:

  • (a)

    y′′+2y+y=e2x

  • (b)

    y′′+y-2y=ex.

 
Exercice 20  1435  

Déterminer les solutions réelles sur des équations différentielles suivantes:

  • (a)

    y′′+2y+2y=sin(x)

  • (b)

    y′′+y=2cos2(x).

 
Exercice 21  3849  Correction  

Déterminer les solutions réelles de l’équation

(E):y′′-3y+2y=sin(2x).

Solution

(E) est une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants d’équation caractéristique

r2-3r+2=0

de racines 1 et 2
Solution générale homogène:

y(x)=λex+μe2x avec λ,μ parcourant .

Cherchons une solution particulière à l’équation

z′′-3z+2z=e2ix

de la forme z(x)=λe2ix. On est amené à résoudre

(-2-6i)λe2ix=e2ix.

On obtient

z(x)=3i-120e2ix

et l’on peut donc proposer la solution particulière

y(x)=320cos(2x)-120sin(2x).

La solution générale de (E) est alors

y(x)=λex+μe2x+320cos(2x)-120sin(2x) avec λ,μ parcourant .
 
Exercice 22  1460  

Résoudre sur l’équation différentielle

(E):y′′+2y+y=2ch(x).
 
Exercice 23  4817   

(Oscillateur linéaire forcé)

Soient ω, ω0, A et y0 des réels strictement positifs.

Exprimer la solution générale de l’équation différentielle

y′′+ω2y=Acos(ω0x).
 
Exercice 24  1550   Correction  

Soient ω et ω0 deux réels strictement positifs et distincts.
Trouver les solutions de l’équation différentielle

y′′+ω2y=cos(ω0x)

vérifiant les conditions initiales y(0)=1 et y(0)=0.

Solution

Il s’agit d’une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants.
L’équation homogène associée a pour équation caractéristique r2+ω2=0 de racines ±iω.
La solution générale homogène est donc y(x)=λcos(ωx)+μsin(ωx)
En introduisant l’équation complexe

z′′+ω2z=eiω0x

et en considérant la partie réelle d’une solution particulière de celle-ci, on peut exprimer la solution générale

y(x)=cos(ω0x)ω2-ω02+λcos(ωx)+μsin(ωx).

Les conditions initiales déterminent λ et μ

y(x)=cos(ω0x)-cos(ωx)ω2-ω02+cos(ωx).
 
Exercice 25  4818   

On veut déterminer les fonctions y deux fois dérivables sur vérifiant11 1 Il s’agit ici de résoudre une équation différentielle linéaire du second ordre qui n’est pas à coefficients constants. L’introduction d’une équation caractéristique n’est pas contextuelle. Des éléments de résolution de ces équations seront présentés en seconde année.:

y′′(x)+2xy(x)+x2y(x)=0pour tout x.
  • (a)

    Soient y une fonction deux fois dérivable sur et z la fonction définie sur par

    z(x)=y(x)ex2/2.

    Montrer que y est solution du problème posé si, et seulement si, z est solution d’une équation différentielle simple que l’on précisera.

  • (b)

    Déterminer les fonctions y solutions du problème posé.

 
Exercice 26  1551    

Déterminer les couples (a,b)2 tels que les solutions de l’équation différentielle y′′+ay+by=0 soient toutes bornées sur +.

[<] Résolution d'équations d'ordre 2[>] Problèmes liés à la résolution d'une équation différentielle

 
Exercice 27  4810  

Déterminer la solution sur au problème de Cauchy

y-(x+1)(y+1)=0ety(0)=1.
 
Exercice 28  4811   

Soient g: une fonction continue et a.

À l’aide d’une intégrale, exprimer la solution du problème de Cauchy

y+ay=g(x)ety(0)=0.
 
Exercice 29  4813   

Soient a* et φ: une fonction continue et périodique de période T>0. On étudie l’équation différentielle

(E):y+ay=φ(t).
  • (a)

    Montrer que, si y est une solution sur de l’équation, la fonction ty(t+T) l’est aussi.

  • (b)

    En déduire qu’une solution y est T-périodique si, et seulement si, y(0)=y(T).

  • (c)

    Montrer que l’équation (E) admet une unique solution T-périodique.

 
Exercice 30  4819   

Soient a un réel et f: une fonction paire.

Montrer que pour chaque y0, il existe une unique fonction paire solution de l’équation différentielle y′′+ay=f(x) et vérifiant y(0)=y0.

 
Exercice 31  4812    

Soient a1,a2 et b1,b2 des fonctions continues de I vers . On considère les équations différentielles:

(E1):y+a1(x)y=b1(x)et(E2):y+a2(x)y=b2(x).
  • (a)

    À quelle(s) condition(s) ces équations différentielles déterminent-elles les mêmes fonctions solutions?

  • (b)

    À quelle(s) condition(s) ces équations différentielles possèdent-elles au moins deux fonctions solutions en commun?

 
Exercice 32  4820    

Soit f: une fonction dérivable.

  • (a)

    On suppose que la fonction f est paire. Étudier la parité de la fonction g définie sur par g(x)=f(x)-xf(x).

  • (b)

    Étudier la réciproque.

  • (c)

    Mêmes questions avec la fonction h définie sur par h(x)=xf(x)-2f(x).

[<] Problème de Cauchy

 
Exercice 33  378  Correction  

Déterminer les fonctions f: continues vérifiant

x,f(x)=0xtf(t)dt+1.

Solution

Si f est solution alors f est de classe 𝒞1 et l’on a

f(x)=xf(x)etf(0)=1.

Après résolution de l’équation différentielle sous-jacente, on obtient

f(x)=ex2/2.

Inversement, f(x)=ex2/2 définit une solution du problème posé.

 
Exercice 34  5313    ENSTIM (MP)Correction  

Soit f: une fonction continue vérifiant

f(x)=1+0xf(t)cos(x-t)dtpour tout x.
  • (a)

    Montrer que f est deux fois dérivable.

  • (b)

    Déterminer f.

Solution

  • (a)

    En développant le cosinus, on écrit

    0xf(t)cos(x-t)dt=cos(x)0xf(t)cos(t)dt+sin(x)0xf(t)sin(t)dt.

    Par opérations sur les fonctions dérivables, on peut affirmer que f est dérivable avec

    f(x)=f(x)-sin(x)0xf(t)cos(t)dt+cos(x)0xf(t)sin(t)dt.

    La fonction f est donc une deuxième fois dérivable et, après simplification,

    f′′(x) =f(x)-cos(x)0xf(t)cos(t)dt-sin(x)0xf(t)sin(t)dt
    =f(x)-(f(x)-1).
  • (b)

    En particulier, la fonction f est solution de l’équation différentielle y′′-y+y=1 dont la solution générale est

    y(x)=1+(λcos(32x)+μsin(32x))ex/2 avec (λ,μ)2

Ajoutons f(0)=f(0)=1 et l’on détermine λ et μ pour conclure

f(x)=1+23sin(32x)ex/2pour tout x.
 
Exercice 35  2419     CCP (MP)Correction  

Soit f: continue vérifiant l’équation

f(x)+0x(x-t)f(t)dt=1-xpour tout x.
  • (a)

    Montrer que f est de classe 𝒞1.

  • (b)

    Trouver toutes les fonctions f solution de l’équation étudiée.

Solution

  • (a)

    On peut écrire

    f(x)=1-x-x0xf(t)dt+0xtf(t)dt.

    Par opération sur les fonctions de classe 𝒞1, f est de classe 𝒞1 sur .

  • (b)

    Soit f solution. f est de classe 𝒞1 et

    f(x)=-1-0xf(t)dt.

    On en déduit que f est de classe 𝒞2 et

    f′′(x)+f(x)=0.

    Ainsi la fonction f est de la forme

    f(x)=λcos(x)+μsin(x).

    De plus, on observe f(0)=1 et f(0)=-1 ce qui détermine λ et μ:

    λ=1etμ=-1.

    Il ne reste plus qu’à vérifier que la fonction xcos(x)-sin(x) est solution, soit en remontant les calculs (ce qui est possible) soit en refaisant ceux-ci.

 
Exercice 36  1548   

Déterminer les fonctions f:[0;1] dérivables telles que

f(x)-f(x)=f(0)+f(1)pour tout x[0;1].
 
Exercice 37  1546   Correction  

Déterminer les fonctions f:[0;1] dérivables telles que

x[0;1],f(x)+f(x)+01f(t)dt=0.

Solution

Supposons f solution.
f est solution d’une équation différentielle de la forme y+y+λ=0 et donc

f(x)=Ce-x-λ.

De plus, une fonction de cette forme est solution de l’équation étudiée si, et seulement si,

01f(t)dt=C(e-1)e-λ

et donc une telle fonction est solution si, et seulement si,

C(e-1)e-λ=λ

d’où

λ=C(e-1)2e.

Finalement, les solutions sont les fonctions données pas

x[0;1],f(x)=Ce-x-C(e-1)2e.
 
Exercice 38  4821  

Déterminer les fonctions réelles f dérivables sur telles que

f(x)=f(-x)pour tout x.
 
Exercice 39  1552   Correction  

Trouver toutes les applications f: dérivables telles que

x,f(x)+f(-x)=ex.

Solution

Analyse: Supposons f est solution. On a

f(x)=ex-f(-x).

La fonction f est dérivable et

f′′(x)=ex+f(-x)=ex+e-x-f(x).

La fonction f est donc de l’équation différentielle y′′+y=2ch(x)
Après résolution

f(x)=ch(x)+C1cos(x)+C2sin(x).

Synthèse: Une telle fonction est solution du problème si, et seulement si,

sh(x)-C1sin(x)+C2cos(x)+ch(x)+C1cos(x)-C2sin(x)=ex.

Ce qui donne C1+C2=0.

Finalement, les solutions du problème posé sont

f(x)=ch(x)+C(cos(x)-sin(x)).
 
Exercice 40  3197     CCP (MP)Correction  

Déterminer les fonctions réelles f dérivables sur telles que

x,f(x)=f(2-x).

Solution

Soit f une fonction solution (s’il en existe).
La dérivée de f apparaît dérivable et donc f est deux fois dérivable avec

f′′(x)=-f(2-x)=-f(x).

Ainsi, f est solution de l’équation différentielle y′′+y=0. C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constant de solution générale

y(x)=λcos(x)+μsin(x).

En injectant dans l’équation étudiée, une telle fonction est solution si, et seulement si,

{-λ=λsin(2)-μcos(2)μ=λcos(2)+μsin(2)

ce qui après résolution équivaut à l’équation

(1+sin(2))λ=(cos(2))μ.

En écrivant λ=(cos(2))α, on a μ=(1+sin(2))α et la solution générale de l’équation étudiée est de la forme

f(x)=α(sin(x)+cos(2-x)) avec α.
 
Exercice 41  1554    Correction  

Trouver toutes les applications f: deux fois dérivables telles que

x,f′′(x)+f(-x)=x.

Solution

Soit f une solution du problème posé.

Posons g(x)=f(x)+f(-x). La fonction g est une fonction paire, deux fois dérivable et solution de: y′′+y=0. Par suite, g(x)=Ccos(x)

Posons h(x)=f(x)-f(-x). La fonction h est une fonction impaire, deux fois dérivable et solution de: y′′-y=2x. Par suite, h(x)=Dsh(x)-2x.

On en déduit

f(x)=Ccos(x)+Dsh(x)-x avec (C,D)2.

Inversement, de telles fonctions sont bien solutions.

 
Exercice 42  1545   

Déterminer toutes les fonctions f: dérivables vérifiant

f(s+t)=f(s)f(t)pour tout (s,t)2.
 
Exercice 43  379   Correction  

Trouver toutes les applications f: dérivables en 0 telles que:

(x,y)2,f(x+y)=exf(y)+eyf(x).

Solution

Soit f une solution.
Pour x=y=0 on obtient f(0)=0.
De plus,

f(x+h)-f(x)h=exf(h)+ehf(x)-f(x)h=exf(h)-f(0)h+eh-1hf(x)

donc

f(x+h)-f(x)hh0exf(0)+f(x).

Par suite, f est dérivable en x et f(x)=f(0)ex+f(x).
La fonction f est alors solution d’une équation différentielle de la forme y=y+Cex vérifiant la condition initiale y(0)=0.
Après résolution, on obtient

f(x)=Cxex.

Inversement, de telles fonctions sont solutions.

 
Exercice 44  4822   

(Lemme de Grönwall)

Soient a:[0;+[ une fonction continue à valeurs positives, A sa primitive s’annulant en 0 et f:[0;+[ une fonction dérivable.

  • (a)

    On suppose que f(x)a(x)f(x) pour tout x0. Montrer que

    f(x)f(0)eA(x)pour tout x+.
  • (b)

    On suppose

    f(x)f(0)+0xa(t)f(t)dtpour tout x+.

    Montrer de nouveau que

    f(x)f(0)eA(x)pour tout x+.
 
Exercice 45  4823    

Soient a un réel strictement positif et f:[0;+[ une fonction de classe 𝒞1 telle que f+af tend vers 0 en +. Montrer11 1 Pour cette résolution, on prend appui sur la définition formelle de la limite présentée p. LABEL:deflimite. que f est de limite nulle en +.

 
Exercice 46  3105     X (PC)Correction  

Soit α un réel compris au sens large entre 0 et 1/e.

  • (a)

    Démontrer l’existence d’une fonction f𝒞1(,) vérifiant

    x,f(x)=αf(x+1).
  • (b)

    Si α=1/e, déterminer deux fonctions linéairement indépendantes vérifiant la relation précédente.

Solution

  • (a)

    Cherchons f de la forme

    f(x)=eβx.

    Après calculs, si α=βe-β alors f est solution.
    En étudiant les variations de la fonction ββe-β, on peut affirmer que pour tout α[0;1/e], il existe β+ tel que βe-β=α et donc il existe une fonction f vérifiant la relation précédente.

  • (b)

    Pour α=1/e, les fonctions xex et xxex sont solutions.
    Notons que pour α]0;1/e[ il existe aussi deux solutions linéairement indépendantes car l’équation βe-β=α admet deux solutions, une inférieure à 1 et l’autre supérieure à 1



Édité le 08-11-2019

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