Exercice 1 4804

Résoudre sur $ℝ$ l’équation différentielle

(E) : y^{'} - \sin (x) y = 0 .

Exercice 2 1541 Correction

Résoudre sur $ℝ$ les équations différentielles suivantes:

(a)

$y^{'} + 2 y = x^{2}$
(b)

$y^{'} + y = 2 \sin (x)$
(c)

$y^{'} - y = (x + 1) e^{x}$
(d)

$y^{'} + y = x - e^{x} + \cos (x)$

Solution

(a)

$y (x) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} + C e^{- 2 x}$ .
(b)

$y (x) = - \cos (x) + \sin (x) + C e^{- x}$ .
(c)

$y (x) = (x^{2} / 2 + x) e^{x} + C e^{x}$ .
(d)

$y (x) = x - 1 - \frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} \cos (x) + \frac{1}{2} \sin (x) + C e^{- x}$ .

Exercice 3 4805

Résoudre sur $ℝ$ l’équation différentielle

(E) : y^{'} + 2 x y = x .

Exercice 4 4806

Résoudre sur $ℝ$ l’équation différentielle

(E) : y^{'} + \frac{2 x}{1 + x^{2}} y = 1 .

Exercice 5 1281 Correction

Résoudre sur $] - 1; 1 [$ l’équation différentielle suivante

\sqrt{1 - x^{2}} y^{'} + y = 1 .

Solution

On obtient la solution générale

y (x) = 1 + C e^{\arccos (x)}

ou encore, et c’est équivalent

y (x) = 1 + C^{'} e^{- \arcsin (x)} .

Exercice 6 4807

Résoudre sur $] - 1; 1 [$ l’équation différentielle

(E) : (1 - x^{2}) y^{'} - x y = \sqrt{1 - x^{2}} .

Exercice 7 1543 Correction

Soit $α \in ℝ$ . Résoudre sur $I = ℝ_{+}^{*}$ ou $ℝ_{-}^{*}$ l’équation différentielle

x y^{'} - α y = 0 .

Solution

Sur $I$ ,

x y^{'} - α y = 0 \Leftrightarrow y^{'} = \frac{α}{x} y .

C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 1 homogène.

\int \frac{α}{x} d x = α \ln (| x |)

donc la solution générale de l’équation étudiée est

y (x) = C {| x |}^{α} .

Exercice 8 1542 Correction

Résoudre sur $ℝ$ les équations différentielles suivantes:

(a)

$(x^{2} + 1) y^{'} + 2 x y + 1 = 0$
(b)

$(x^{2} + 1) y^{'} - x y = {(x^{2} + 1)}^{3 / 2}$
(c)

${(x^{2} + 1)}^{2} y^{'} + 2 x (x^{2} + 1) y = 1$

Solution

(a)

$y (x) = \frac{C - x}{1 + x^{2}}$
(b)

$y (x) = \sqrt{1 + x^{2}} (C + x)$
(c)

$y (x) = \frac{C + \arctan (x)}{1 + x^{2}}$

Exercice 9 1280 Correction

Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles spécifiés:

(a)

$(1 + e^{x}) y^{'} + e^{x} y = (1 + e^{x})$ sur $ℝ$
(b)

$(e^{x} - 1) y^{'} + e^{x} y = 1$ sur $ℝ_{+}^{*}$ et $ℝ_{-}^{*}$ ,
(c)

$x (1 + \ln^{2} (x)) y^{'} + 2 \ln (x) y = 1$ sur $ℝ_{+}^{*}$

Solution

(a)

$y (x) = \frac{C + x + e^{x}}{1 + e^{x}}$
(b)

$y (x) = \frac{C + x}{e^{x} - 1}$
(c)

$y (x) = \frac{C + \ln (x)}{(1 + \ln^{2} (x))}$

Exercice 10 1379 Correction

Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles spécifiés:

(a)

$(2 + \cos (x)) y^{'} + \sin (x) y = (2 + \cos (x)) \sin (x)$ sur $ℝ$
(b)

$(1 + \cos^{2} (x)) y^{'} - \sin (2 x) y = \cos (x)$ sur $ℝ$
(c)

$y^{'} \sin (x) - y \cos (x) + 1 = 0$ sur $] 0; π [$ ,
(d)

${(\sin (x))}^{3} y^{'} = 2 (\cos (x)) y$ sur $] 0; π [$ .

Solution

(a)

$y (x) = (2 + \cos (x)) (C - \ln (2 + \cos (x)))$
(b)

$y (x) = \frac{C + \sin (x)}{1 + \cos^{2} (x)}$
(c)

$y (x) = C \sin (x) + \cos (x)$
(d)

$y (x) = C e^{- 1 / \sin^{2} (x)}$

Exercice 11 1434 Correction

Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles spécifiés:

(a)

$ch (x) y^{'} - sh (x) y = {sh}^{3} (x)$ sur $ℝ$
(b)

$y^{'} - \frac{sh (x)}{1 + ch (x)} y = sh (x)$ sur $ℝ$
(c)

$sh (x) y^{'} - ch (x) y = 1$ sur $ℝ_{+}^{*}$ et $ℝ_{-}^{*}$ ,

Solution

(a)

$y (x) = {ch}^{2} (x) + 1 + C ch (x)$
(b)

$y (x) = (\ln (1 + ch (x)) + C) (1 + ch (x))$
(c)

$y (x) = C sh (x) - ch (x)$

Exercice 12 4808

Résoudre sur les intervalles précisés les équations différentielles suivantes:

(a)

$y^{'} + \tan (x) y = \sin (2 x)$ sur $] - π / 2; π / 2 [$ .
(b)

${(x^{2} + 1)}^{2} y^{'} + 2 x (x^{2} + 1) y = 1$ sur $ℝ$ .
(c)

$(1 + e^{x}) y^{'} - e^{x} y = e^{x}$ sur $ℝ$ .
(d)

$x (1 + \ln^{2} (x)) y^{'} + 2 y = 0$ sur $ℝ_{+}^{*}$ .
(e)

$ch (x) y^{'} - sh (x) y = 1$ sur $ℝ$ .

Exercice 13 1544

Former une équation différentielle linéaire du premier ordre dont les fonctions solutions sont les fonctions $f_{λ} : ℝ \to ℝ$ données par

f_{λ} (x) = \frac{x + λ}{1 + x^{2}} avec λ \in ℝ .

Exercice 14 4809

Résoudre sur $ℝ$ l’équation différentielle

(E) : y^{'} + y = \max (x,0) .

[<] Résolution d'équations d'ordre 1[>] Problème de Cauchy

Exercice 15 1549

Résoudre sur $ℝ$ les équations différentielles suivantes:

(a)

$y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = 0$
(b)

$y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = 0$
(c)

$y^{''} - 2 y^{'} + 5 y = 0$
(d)

$y^{''} + y = 0$ .

Exercice 16 4814

Déterminer les fonctions complexes solutions sur $ℝ$ de l’équation différentielle

(E) : y^{''} - (1 + 3 i) y^{'} - 4 y = 0 .

Exercice 17 4815

Soit $ω$ un réel strictement positif.

Exprimer simplement la solution générale de l’équation $y^{''} - ω^{2} y = 0$ à l’aide des fonctions hyperboliques $ch$ et $sh$ .

Exercice 18 4816

Résoudre sur $ℝ$ l’équation différentielle

(E) : y^{''} + y^{'} + y = 1 + 2 e^{- 2 x} .

Exercice 19 1450

Résoudre sur $ℝ$ les équations différentielles suivantes:

(a)

$y^{''} + 2 y^{'} + y = e^{2 x}$
(b)

$y^{''} + y^{'} - 2 y = e^{x}$ .

Exercice 20 1435

Déterminer les solutions réelles sur $ℝ$ des équations différentielles suivantes:

(a)

$y^{''} + 2 y^{'} + 2 y = \sin (x)$
(b)

$y^{''} + y = 2 \cos^{2} (x)$ .

Exercice 21 3849 Correction

Déterminer les solutions réelles de l’équation

(E) : y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = \sin (2 x) .

Solution

$(E)$ est une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants d’équation caractéristique

r^{2} - 3 r + 2 = 0

de racines $1$ et $2$
Solution générale homogène:

y (x) = λ e^{x} + μ e^{2 x} avec λ, μ parcourant ℝ .

Cherchons une solution particulière à l’équation

z^{''} - 3 z^{'} + 2 z = e^{2 i x}

de la forme $z (x) = λ e^{2 i x}$ . On est amené à résoudre

(- 2 - 6 i) λ e^{2 i x} = e^{2 i x} .

On obtient

z (x) = \frac{3 i - 1}{20} e^{2 i x}

et l’on peut donc proposer la solution particulière

y (x) = \frac{3}{20} \cos (2 x) - \frac{1}{20} \sin (2 x) .

La solution générale de $(E)$ est alors

y (x) = λ e^{x} + μ e^{2 x} + \frac{3}{20} \cos (2 x) - \frac{1}{20} \sin (2 x) avec λ, μ parcourant ℝ .

Exercice 22 1460

Résoudre sur $ℝ$ l’équation différentielle

(E) : y^{''} + 2 y^{'} + y = 2 ch (x) .

Exercice 23 4817

(Oscillateur linéaire forcé)

Soient $ω$ , $ω_{0}$ , $A$ et $y_{0}$ des réels strictement positifs.

Exprimer la solution générale de l’équation différentielle

y^{''} + ω^{2} y = A \cos (ω_{0} x) .

Exercice 24 1550 Correction

Soient $ω$ et $ω_{0}$ deux réels strictement positifs et distincts.
Trouver les solutions de l’équation différentielle

y^{''} + ω^{2} y = \cos (ω_{0} x)

vérifiant les conditions initiales $y (0) = 1$ et $y^{'} (0) = 0$ .

Solution

Il s’agit d’une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants.
L’équation homogène associée a pour équation caractéristique $r^{2} + ω^{2} = 0$ de racines $\pm i ω$ .
La solution générale homogène est donc $y (x) = λ \cos (ω x) + μ \sin (ω x)$
En introduisant l’équation complexe

z^{''} + ω^{2} z = e^{i ω_{0} x}

et en considérant la partie réelle d’une solution particulière de celle-ci, on peut exprimer la solution générale

y (x) = \frac{\cos (ω_{0} x)}{ω^{2} - ω_{0}^{2}} + λ \cos (ω x) + μ \sin (ω x) .

Les conditions initiales déterminent $λ$ et $μ$

y (x) = \frac{\cos (ω_{0} x) - \cos (ω x)}{ω^{2} - ω_{0}^{2}} + \cos (ω x) .

Exercice 25 4818

On veut déterminer les fonctions $y$ deux fois dérivables sur $ℝ$ vérifiant¹¹ 1 Il s’agit ici de résoudre une équation différentielle linéaire du second ordre qui n’est pas à coefficients constants. L’introduction d’une équation caractéristique n’est pas contextuelle. Des éléments de résolution de ces équations seront présentés en seconde année.:

y^{''} (x) + 2 x y^{'} (x) + x^{2} y (x) = 0 pour tout x \in ℝ .

(a)

Soient $y$ une fonction deux fois dérivable sur $ℝ$ et $z$ la fonction définie sur $ℝ$ par

$z (x) = y (x) e^{x^{2} / 2} .$

Montrer que $y$ est solution du problème posé si, et seulement si, $z$ est solution d’une équation différentielle simple que l’on précisera.
(b)

Déterminer les fonctions $y$ solutions du problème posé.

Exercice 26 1551

Déterminer les couples $(a, b) \in ℝ^{2}$ tels que les solutions de l’équation différentielle $y^{''} + a y^{'} + b y = 0$ soient toutes bornées sur $ℝ_{+}$ .

[<] Résolution d'équations d'ordre 2[>] Problèmes liés à la résolution d'une équation différentielle

Exercice 27 4810

Déterminer la solution sur $ℝ$ au problème de Cauchy

y^{'} - (x + 1) (y + 1) = 0 et y (0) = 1 .

Exercice 28 4811

Soient $g : ℝ \to ℝ$ une fonction continue et $a \in ℝ$ .

À l’aide d’une intégrale, exprimer la solution du problème de Cauchy

y^{'} + a y = g (x) et y (0) = 0 .

Exercice 29 4813

Soient $a \in ℝ^{*}$ et $φ : ℝ \to ℝ$ une fonction continue et périodique de période $T > 0$ . On étudie l’équation différentielle

(E) : y^{'} + a y = φ (t) .

(a)

Montrer que, si $y$ est une solution sur $ℝ$ de l’équation $(E)$ , la fonction $t \mapsto y (t + T)$ l’est aussi.
(b)

En déduire qu’une solution $y$ est $T$ -périodique si, et seulement si, $y (0) = y (T)$ .
(c)

Montrer que l’équation $(E)$ admet une unique solution $T$ -périodique.

Exercice 30 4819

Soient $a$ un réel et $f : ℝ \to ℝ$ une fonction paire.

Montrer que pour chaque $y_{0} \in ℝ$ , il existe une unique fonction paire solution de l’équation différentielle $y^{''} + a y = f (x)$ et vérifiant $y (0) = y_{0}$ .

Exercice 31 4812

Soient $a_{1}, a_{2}$ et $b_{1}, b_{2}$ des fonctions continues de $I$ vers $ℝ$ . On considère les équations différentielles:

(E_{1}) : y^{'} + a_{1} (x) y = b_{1} (x) et (E_{2}) : y^{'} + a_{2} (x) y = b_{2} (x) .

(a)

À quelle(s) condition(s) ces équations différentielles déterminent-elles les mêmes fonctions solutions?
(b)

À quelle(s) condition(s) ces équations différentielles possèdent-elles au moins deux fonctions solutions en commun?

Exercice 32 4820

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction dérivable.

(a)

On suppose que la fonction $f$ est paire. Étudier la parité de la fonction $g$ définie sur $ℝ$ par $g (x) = f^{'} (x) - x f (x)$ .
(b)

Étudier la réciproque.
(c)

Mêmes questions avec la fonction $h$ définie sur $ℝ$ par $h (x) = x f^{'} (x) - 2 f (x)$ .

[<] Problème de Cauchy

Exercice 33 378 Correction

Déterminer les fonctions $f : ℝ \to ℝ$ continues vérifiant

\forall x \in ℝ, f (x) = \int_{0}^{x} t f (t) d t + 1 .

Solution

Si $f$ est solution alors $f$ est de classe $𝒞^{1}$ et l’on a

f^{'} (x) = x f (x) et f (0) = 1 .

Après résolution de l’équation différentielle sous-jacente, on obtient

f (x) = e^{x^{2} / 2} .

Inversement, $f (x) = e^{x^{2} / 2}$ définit une solution du problème posé.

Exercice 34 5313 ENSTIM (MP)Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction continue vérifiant

f (x) = 1 + \int_{0}^{x} f (t) \cos (x - t) d t pour tout x \in ℝ .

(a)

Montrer que $f$ est deux fois dérivable.
(b)

Déterminer $f$ .

Solution

(a)

En développant le cosinus, on écrit

$\int_{0}^{x} f (t) \cos (x - t) d t = \cos (x) \int_{0}^{x} f (t) \cos (t) d t + \sin (x) \int_{0}^{x} f (t) \sin (t) d t .$

Par opérations sur les fonctions dérivables, on peut affirmer que $f$ est dérivable avec

$f^{'} (x) = f (x) - \sin (x) \int_{0}^{x} f (t) \cos (t) d t + \cos (x) \int_{0}^{x} f (t) \sin (t) d t .$

La fonction $f$ est donc une deuxième fois dérivable et, après simplification,

$f^{''} (x)$ $= f^{'} (x) - \cos (x) \int_{0}^{x} f (t) \cos (t) d t - \sin (x) \int_{0}^{x} f (t) \sin (t) d t$

$= f^{'} (x) - (f (x) - 1) .$
(b)

En particulier, la fonction $f$ est solution de l’équation différentielle $y^{''} - y^{'} + y = 1$ dont la solution générale est

$y (x) = 1 + (λ \cos (\frac{\sqrt{3}}{2} x) + μ \sin (\frac{\sqrt{3}}{2} x)) e^{x / 2} avec (λ, μ) \in ℝ^{2} .$

Ajoutons $f (0) = f^{'} (0) = 1$ et l’on détermine $λ$ et $μ$ pour conclure

f (x) = 1 + \frac{2}{\sqrt{3}} \sin (\frac{\sqrt{3}}{2} x) e^{x / 2} pour tout x \in ℝ .

Exercice 35 2419 CCINP (MP)Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ continue vérifiant l’équation

f (x) + \int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t = 1 - x pour tout x \in ℝ .

(a)

Montrer que $f$ est de classe $𝒞^{1}$ .
(b)

Trouver toutes les fonctions $f$ solution de l’équation étudiée.

Solution

(a)

On peut écrire

$f (x) = 1 - x - x \int_{0}^{x} f (t) d t + \int_{0}^{x} t f (t) d t .$

Par opération sur les fonctions de classe $𝒞^{1}$ , $f$ est de classe $𝒞^{1}$ sur $ℝ$ .
(b)

Soit $f$ solution. $f$ est de classe $𝒞^{1}$ et

$f^{'} (x) = - 1 - \int_{0}^{x} f (t) d t .$

On en déduit que $f$ est de classe $𝒞^{2}$ et

$f^{''} (x) + f (x) = 0 .$

Ainsi la fonction $f$ est de la forme

$f (x) = λ \cos (x) + μ \sin (x) .$

De plus, on observe $f (0) = 1$ et $f^{'} (0) = - 1$ ce qui détermine $λ$ et $μ$ :

$λ = 1 et μ = - 1 .$

Il ne reste plus qu’à vérifier que la fonction $x \mapsto \cos (x) - \sin (x)$ est solution, soit en remontant les calculs (ce qui est possible) soit en refaisant ceux-ci.

Exercice 36 1548

Déterminer les fonctions $f : [0; 1] \to ℝ$ dérivables telles que

f^{'} (x) - f (x) = f (0) + f (1) pour tout x \in [0; 1] .

Exercice 37 1546 Correction

Déterminer les fonctions $f : [0; 1] \to ℝ$ dérivables telles que

\forall x \in [0; 1], f^{'} (x) + f (x) + \int_{0}^{1} f (t) d t = 0 .

Solution

Supposons $f$ solution.
$f$ est solution d’une équation différentielle de la forme $y^{'} + y + λ = 0$ et donc

f (x) = C e^{- x} - λ .

De plus, une fonction de cette forme est solution de l’équation étudiée si, et seulement si,

\int_{0}^{1} f (t) d t = \frac{C (e - 1)}{e} - λ

et donc une telle fonction est solution si, et seulement si,

\frac{C (e - 1)}{e} - λ = λ

d’où

λ = \frac{C (e - 1)}{2 e} .

Finalement, les solutions sont les fonctions données pas

\forall x \in [0; 1], f (x) = C e^{- x} - \frac{C (e - 1)}{2 e} .

Exercice 38 4821

Déterminer les fonctions réelles $f$ dérivables sur $ℝ$ telles que

f^{'} (x) = f (- x) pour tout x \in ℝ .

Exercice 39 1552 Correction

Trouver toutes les applications $f : ℝ \to ℝ$ dérivables vérifiant

\forall x \in ℝ, f^{'} (x) + f (- x) = e^{x} .

Solution

Analyse: Supposons que $f$ est une fonction solution. On a

f^{'} (x) = e^{x} - f (- x) .

Par opérations, la fonction $f^{'}$ est nécessairement dérivable et

f^{''} (x) = e^{x} + f^{'} (- x) = e^{x} + e^{- x} - f (x) .

La fonction $f$ est donc de l’équation différentielle

y^{''} + y = 2 ch (x) .

Après résolution,

f (x) = ch (x) + C_{1} \cos (x) + C_{2} \sin (x) avec C_{1}, C_{2} \in ℝ .

Synthèse: Une telle fonction est solution du problème si, et seulement si,

sh (x) - C_{1} \sin (x) + C_{2} \cos (x) + ch (x) + C_{1} \cos (x) - C_{2} \sin (x) = e^{x}

ce qui donne $C_{1} + C_{2} = 0$ .

Finalement, les solutions du problème posé sont les fonctions données par

f (x) = ch (x) + C (\cos (x) - \sin (x)) avec C \in ℝ .

Exercice 40 3197 CCINP (MP)Correction

Déterminer les fonctions réelles $f$ dérivables sur $ℝ$ telles que

\forall x \in ℝ, f^{'} (x) = f (2 - x) .

Solution

Soit $f$ une fonction solution (s’il en existe).
La dérivée de $f$ apparaît dérivable et donc $f$ est deux fois dérivable avec

f^{''} (x) = - f^{'} (2 - x) = - f (x) .

Ainsi, $f$ est solution de l’équation différentielle $y^{''} + y = 0$ . C’est une équation différentielle linéaire d’ordre $2$ à coefficients constant de solution générale

y (x) = λ \cos (x) + μ \sin (x) .

En injectant dans l’équation étudiée, une telle fonction est solution si, et seulement si,

{\begin{matrix} - λ = λ \sin (2) - μ \cos (2) \\ μ = λ \cos (2) + μ \sin (2) \end{matrix}

ce qui après résolution équivaut à l’équation

(1 + \sin (2)) λ = (\cos (2)) μ .

En écrivant $λ = (\cos (2)) α$ , on a $μ = (1 + \sin (2)) α$ et la solution générale de l’équation étudiée est de la forme

f (x) = α (\sin (x) + \cos (2 - x)) avec α \in ℝ .

Exercice 41 1554 Correction

Trouver toutes les applications $f : ℝ \to ℝ$ deux fois dérivables telles que

\forall x \in ℝ, f^{''} (x) + f (- x) = x .

Solution

Soit $f$ une solution du problème posé.

Posons $g (x) = f (x) + f (- x)$ . La fonction $g$ est une fonction paire, deux fois dérivable et solution de: $y^{''} + y = 0$ . Par suite, $g (x) = C \cos (x)$

Posons $h (x) = f (x) - f (- x)$ . La fonction $h$ est une fonction impaire, deux fois dérivable et solution de: $y^{''} - y = 2 x$ . Par suite, $h (x) = D sh (x) - 2 x$ .

On en déduit

f (x) = C \cos (x) + D sh (x) - x avec (C, D) \in ℝ^{2} .

Inversement, de telles fonctions sont bien solutions.

Exercice 42 1545

Déterminer toutes les fonctions $f : ℝ \to ℂ$ dérivables vérifiant

f (s + t) = f (s) f (t) pour tout (s, t) \in ℝ^{2} .

Exercice 43 379 Correction

Trouver toutes les applications $f : ℝ \to ℝ$ dérivables en 0 vérifiant

\forall (x, y) \in ℝ^{2}, f (x + y) = e^{x} f (y) + e^{y} f (x) .

Solution

Soit $f$ une fonction solution.

Pour $x = y = 0$ , on obtient $f (0) = 0$ .

De plus,

\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{e^{x} f (h) + e^{h} f (x) - f (x)}{h} = e^{x} \frac{f (h) - f (0)}{h} + \frac{e^{h} - 1}{h} f (x)

donc

\frac{f (x + h) - f (x)}{h} \to_{h \to 0}^{} e^{x} f^{'} (0) + f (x) .

Par suite, $f$ est dérivable en $x$ avec

f^{'} (x) = f^{'} (0) e^{x} + f (x) .

La fonction $f$ est alors solution d’une équation différentielle de la forme

y^{'} = y + C e^{x}

vérifiant la condition initiale $y (0) = 0$ .

Après résolution, on obtient

f (x) = C x e^{x} avec C \in ℝ

Inversement, de telles fonctions sont solutions.

Exercice 44 4822

(Lemme de Grönwall)

Soient $a : [0; + \infty [\to ℝ$ une fonction continue à valeurs positives, $A$ sa primitive s’annulant en $0$ et $f : [0; + \infty [\to ℝ$ une fonction dérivable.

(a)

On suppose que $f^{'} (x) \leq a (x) f (x)$ pour tout $x \geq 0$ . Montrer que

$f (x) \leq f (0) e^{A (x)} pour tout x \in ℝ_{+} .$
(b)

On suppose

$f (x) \leq f (0) + \int_{0}^{x} a (t) f (t) d t pour tout x \in ℝ_{+} .$

Montrer de nouveau que

$f (x) \leq f (0) e^{A (x)} pour tout x \in ℝ_{+} .$

Exercice 45 4823

Soient $a$ un réel strictement positif et $f : [0; + \infty [\to ℝ$ une fonction de classe $𝒞^{1}$ telle que $f^{'} + a f$ tend vers $0$ en $+ \infty$ . Montrer¹¹ 1 Pour cette résolution, on prend appui sur la définition formelle de la limite présentée. que $f$ est de limite nulle en $+ \infty$ .

Exercice 46 3105 X (PC)Correction

Soit $α$ un réel compris au sens large entre 0 et $1 / e$ .

(a)

Démontrer l’existence d’une fonction $f \in 𝒞^{1} (ℝ, ℝ)$ vérifiant

$\forall x \in ℝ, f^{'} (x) = α f (x + 1) .$
(b)

Si $α = 1 / e$ , déterminer deux fonctions linéairement indépendantes vérifiant la relation précédente.

Solution

(a)

Cherchons $f$ de la forme

$f (x) = e^{β x} .$

Après calculs, si $α = β e^{- β}$ alors $f$ est solution.
En étudiant les variations de la fonction $β \mapsto β e^{- β}$ , on peut affirmer que pour tout $α \in [0; 1 / e]$ , il existe $β \in ℝ_{+}$ tel que $β e^{- β} = α$ et donc il existe une fonction $f$ vérifiant la relation précédente.
(b)

Pour $α = 1 / e$ , les fonctions $x \mapsto e^{x}$ et $x \mapsto x e^{x}$ sont solutions.
Notons que pour $α \in] 0; 1 / e [$ il existe aussi deux solutions linéairement indépendantes car l’équation $β e^{- β} = α$ admet deux solutions, une inférieure à 1 et l’autre supérieure à 1

Exercice 47 5465 Correction

Soient $a \in] 0; 1 [$ et $y : ℝ \to ℝ$ une fonction dérivable vérifiant

y (0) = a et \forall t \in ℝ, y^{'} (t) = y (t) (1 - y (t)) .

(a)

Soient $h : ℝ \to ℝ$ une fonction continue et $x : ℝ \to ℝ$ dérivable solution de l’équation différentielle $(E) : x^{'} = h (t) x$ . Que peut-on dire du signe de la fonction $x$ ?
(b)

Établir que $y (t) \in] 0; 1 [$ pour tout $t \in ℝ$ .
(c)

Déterminer une primitive sur $] 0; 1 [$ de la fonction $t \mapsto \frac{1}{t (1 - t)}$ .
(d)

Exprimer $y (t)$ en fonction de $a$ et $t$ .

Solution

(a)

Soit $H$ la primitive s’annulant en $0$ de la fonction continue $h$ . Par résolution de l’équation différentielle $x^{'} = h (t) x$ , on obtient $x (t) = x (0) e^{H (t)}$ . On en déduit que la fonction $x$ est de signe constant.
(b)

Pour $h = 1 - y$ , on peut percevoir $x = y$ solution de l’équation différentielle $x^{'} = h x$ . On en déduit que $y$ est de signe constant. Puisque $y (0) = a > 0$ , la fonction $y$ prend seulement des valeurs strictement positives. De même, avec $h = - y$ , $x = 1 - y$ et $a < 1$ , on établit que $y$ prend seulement des valeurs strictement inférieures à $1$ .
(c)

Par décomposition en éléments simples,

$\int \frac{1}{t (1 - t)} d t = \int (\frac{1}{t} + \frac{1}{1 - t}) d t = \ln (\frac{t}{1 - t}) = - \ln (1 - \frac{1}{t}) sur] 0; 1 [.$
(d)

La fonction $y$ ne s’annule pas et ne prend pas la valeur $1$ , on peut alors diviser par $y (t) (1 - y (t))$ et écrire

$\forall t \in ℝ, \frac{y^{'} (t)}{y (t) (1 - y (t))} = 1 .$

En intégrant entre $0$ et $t$ , il vient

$t = \int_{0}^{t} \frac{y^{'} (s)}{y (s) (1 - y (s))} d s = {[- \ln (1 - \frac{1}{y (s)})]}_{0}^{t} = \ln (1 - \frac{1}{a}) - \ln (1 - \frac{1}{y (t)}) .$

On en tire

$1 - \frac{1}{y (t)} = (1 - \frac{1}{a}) e^{- t}$

puis

$y (t) = \frac{a}{a + (1 - a) e^{- t}} pour tout t \in ℝ .$

Édité le 29-08-2023

	$f^{''} (x)$	$= f^{'} (x) - \cos (x) \int_{0}^{x} f (t) \cos (t) d t - \sin (x) \int_{0}^{x} f (t) \sin (t) d t$
		$= f^{'} (x) - (f (x) - 1) .$