Exercice 1 5198

(a)

Donner la matrice dans la base canonique de l’endomorphisme

$f : {\begin{matrix} ℝ^{3} & \to & ℝ^{3} \\ (x, y, z) & \mapsto & (y - z, z - x, x - y) . \end{matrix}$
(b)

Donner la matrice dans la base canonique de l’endomorphisme

$φ : {\begin{matrix} ℝ_{2} [X] & \to & ℝ_{2} [X] \\ a X^{2} + b X + c & \mapsto & a + b X + c X^{2} . \end{matrix}$
(c)

On suppose $ℂ$ muni de sa structure d’espace vectoriel réel. Donner la matrice dans la base $(1, i)$ de l’endomorphisme

$g : {\begin{matrix} ℂ & \to & ℂ \\ z & \mapsto & (1 + i) z . \end{matrix}$

Exercice 2 5197

(a)

Donner la matrice de l’application linéaire

$f : {\begin{matrix} ℝ^{3} & \to & ℝ^{2} \\ (x, y, z) & \mapsto & (x + y - z,2 x + z) \end{matrix}$

relative aux bases canoniques des espaces $ℝ^{3}$ et $ℝ^{2}$ .
(b)

Soient $a, b, c, d$ des réels. Donner la matrice de l’application linéaire

$E : {\begin{matrix} ℝ_{3} [X] & \to & ℝ^{4} \\ P & \mapsto & (P (a), P (b), P (c), P (d)) \end{matrix}$

relative aux bases canoniques de $ℝ_{3} [X]$ et $ℝ^{4}$ .

Exercice 3 1269 Correction

Déterminer la matrice relative aux bases canoniques des applications linéaires $f$ suivantes:

(a)

$f : {\begin{matrix} ℝ^{3} & \to & ℝ^{2} \\ (x, y, z) & \mapsto & (x + y, y - 2 x + z) \end{matrix}$
(b)

$f : {\begin{matrix} ℝ^{3} & \to & ℝ^{3} \\ (x, y, z) & \mapsto & (y + z, z + x, x + y) \end{matrix}$
(c)

$f : {\begin{matrix} ℝ_{3} [X] & \to & ℝ_{3} [X] \\ P & \mapsto & P (X + 1) \end{matrix}$
(d)

$f : {\begin{matrix} ℝ_{3} [X] & \to & ℝ^{4} \\ P & \mapsto & (P (1), P (2), P (3), P (4)) \end{matrix}$

Solution

On note $A$ la représentation matricielle cherchée.

(a)

$A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ - 2 & 1 & 1 \end{matrix}) .$
(b)

$A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}) .$
(c)

$A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .$
(d)

$A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 3 & 9 & 27 \\ 1 & 4 & 16 & 64 \end{matrix}) .$

Exercice 4 5199

Soit

J = (\begin{matrix} 0 & 1 & (0) \\ 0 & ⋱ \\ ⋱ & 1 \\ (0) & 0 \end{matrix}) \in ℳ_{n} (ℝ) .

À l’aide des applications linéaires canoniquement associées, calculer $J^{⊤} J$ et $J J^{⊤}$ .

Exercice 5 2688 MINES (MP)Correction

Soit $ω$ une racine primitive $n$ -ième de l’unité. On pose

F_{ω} (P) = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k = 0}^{n - 1} P (ω^{k}) X^{k}

pour tout $P \in ℂ_{n - 1} [X]$ .

Montrer que $F_{ω}$ est un automorphisme de $ℂ_{n - 1} [X]$ et exprimer son inverse.

Solution

$F_{ω}$ est clairement un endomorphisme de $ℂ_{n - 1} [X]$ . Sa matrice dans la base $(1, X, \dots, X^{n - 1})$ est $A = {(a_{i, j})}_{0 \leq i, j \leq n - 1}$ avec

a_{i, j} = \frac{1}{\sqrt{n}} ω^{i j} pour tout 0 \leq i, j \leq n - 1 .

On remarque que $\bar{A} A = I_{n}$ car

\frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} ω^{(j - i) k} = {\begin{matrix} 1 & si i = j \\ 0 & sinon. \end{matrix}

Par suite, $F_{ω}$ est un automorphisme et $F_{ω}^{- 1}$ étant représenté par $\bar{A}$ ,

F_{ω}^{- 1} (P) = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k = 0}^{n - 1} P (ω^{- k}) X^{k} .

Exercice 6 4539

Soient $n \in ℕ$ et $A = {(a_{i, j})}_{0 \leq i, j \leq n} \in ℳ_{n + 1} (ℝ)$ la matrice dont le coefficient général¹¹ 1 On notera que, dans ce sujet, lignes et colonnes sont indexées à partir du rang $0$ . est donné par le coefficient binomial:

a_{i, j} = (\binom{j}{i}) pour tout (i, j) \in {⟦ 0; n ⟧}^{2} .

Soit $φ$ l’endomorphisme de $ℝ_{n} [X]$ représenté par la matrice $A$ dans la base canonique $(1, X, \dots, X^{n})$ .

(a)

Exprimer simplement $φ (P)$ pour tout $P$ de $ℝ_{n} [X]$ .
(b)

Montrer que $A$ est inversible et calculer $A^{- 1}$ .

[<] Matrice d'une application linéaire[>] Étude d'endomorphisme connu par sa matrice

Exercice 7 1276 Correction

Soit

A = (\begin{matrix} 3 & 1 & - 3 \\ - 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \end{matrix}) .

On note $ℬ = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ la base canonique de $ℝ^{3}$ .
Soit $f$ l’endomorphisme de $ℝ^{3}$ dont la matrice dans $ℬ$ est $A$ .
On pose $ε_{1} = (1,1,1), ε_{2} = (1, - 1,0), ε_{3} = (1,0,1)$ et $ℬ^{'} = (ε_{1}, ε_{2}, ε_{3})$ .

(a)

Montrer que $ℬ^{'}$ constitue une base de $ℝ^{3}$ .
(b)

Écrire la matrice de $f$ dans cette base.
(c)

Déterminer une base de $Ker (f)$ et de $Im (f)$ .

Solution

(a)

On vérifie que la famille $ℬ^{'}$ est libre, puis c’est une base car formée de trois vecteurs en dimension 3.
(b)

Par calcul matriciel

$f (ε_{1}) = ε_{1}, f (ε_{2}) = 2 ε_{2}, f (ε_{3}) = 0$

et donc

${Mat}_{ℬ^{'}} (f) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .$
(c)

On observe que $ε_{3} \in Ker (f)$ et $ε_{1}, ε_{2} \in Im (f)$ .
Le théorème du rang permet de conclure: $(ε_{3})$ est une base de $Ker (f)$ et $(ε_{1}, ε_{2})$ est une base de $Im (f)$ .

Exercice 8 5205

Dans l’espace réel $𝒞^{\infty} (ℝ, ℝ)$ , on considère le sous-espace vectoriel $E$ de dimension $4$ engendré par les fonctions¹¹ 1 Voir le sujet 4512.

c_{0} : x \mapsto \cos (x), c_{1} : x \mapsto x \cos (x), s_{0} : x \mapsto \sin (x) et s_{1} : x \mapsto x \sin (x) .

(a)

Montrer que la dérivée d’une fonction de $E$ est encore une fonction de $E$ .

On note $D$ l’endomorphisme de $E$ défini par $D (f) = f^{'}$ pour tout $f \in E$ .

(b)

Donner la matrice de $D$ dans la base $ℬ = (c_{0}, c_{1}, s_{0}, s_{1})$ .
(c)

Application : Déterminer les fonctions réelles solutions sur $ℝ$ de l’équation différentielle

$(E) : y^{''} + 2 y^{'} + y = x \cos (x) .$

Exercice 9 5523 Correction

Soit $f$ un endomorphisme d’un espace vectoriel réel $E$ .

On suppose que pour tout $x \in E$ , les vecteurs $x$ et $f (x)$ forment une famille liée.

Soit $ℬ = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ .

(a)

Montrer que la matrice de $f$ dans $ℬ$ est diagonale.
(b)

En calculant $f (e_{1} + \dots + e_{n})$ conclure que $f$ est une homothétie vectorielle, c’est-à-dire qu’il existe $λ \in ℝ$ tel que $f (x) = λ . x$ pour tout $x \in E$ .

Solution

(a)

Pour $i = 1, \dots, n$ , savoir $(e_{i}, T (e_{i}))$ liée avec $e_{i} \neq 0_{E}$ assure qu’il existe $λ_{i} \in ℝ$ tel que $f (e_{i}) = λ_{i} . e_{i}$ . La matrice de $f$ dans $ℬ$ est alors une matrice diagonale.
(b)

Pour $x = e_{1} + \dots + e_{n}$ , la famille $(x, f (x))$ est liée avec $x \neq 0_{E}$ . Il existe donc $λ \in ℝ$ tel que $f (x) = λ . x$ . Par linéarité de $f$ , il vient

$λ_{1} . e_{1} + \dots + λ_{n} . e_{n} = λ . e_{1} + \dots + λ . e_{n}$

et donc

$(λ_{1} - λ) . e_{1} + \dots + (λ_{n} - λ) . e_{n} = 0_{E} .$

Par liberté de la famille $(e_{1}, \dots, e_{n})$ , on obtient $λ_{1} = \dots = λ_{n} = λ$ . Ainsi, $f = λ . {Id}_{E}$ .

Exercice 10 715 Correction

Soient $a \in ℂ^{*}$ et $f : ℂ \to ℂ$ définie par $f (z) = z + a \bar{z}$ .

(a)

Former la matrice de l’endomorphisme $f$ du $ℝ$ -espace vectoriel $ℂ$ dans la base $(1, i)$ .
(b)

Déterminer l’image et le noyau de $f$ .

Solution

(a)

On introduit $x = Re (a)$ et $y = Im (a)$ .

$f (1) = 1 + x + i y et f (i) = i - a i = y + i (1 - x) .$

La matrice de $f$ dans la base $(1, i)$ est donc

$(\begin{matrix} 1 + x & y \\ y & 1 - x \end{matrix}) .$
(b)

Cas: $| a | \neq 1$ . On a $\det (f) \neq 0$ : l’endomorphisme $f$ est inversible et donc

$Im (f) = ℂ et Ker (f) = {0} .$

Cas: $| a | = 1$ . alors $\det (f) = 0$ : l’endomorphisme $f$ n’est pas inversible. De plus, $f$ n’est pas l’endomorphisme nul, c’est donc un endomorphisme de rang $1$ .

On remarque

$f (e^{i θ / 2}) = 2 e^{i θ / 2} \neq 0$

et donc $2 e^{i θ / 2}$ est un vecteur directeur de la droite $Im (f)$ :

$Im (f) = Vect {2 e^{i θ / 2}} = Vect {e^{i θ / 2}} .$

On remarque aussi

$f (e^{i (θ + π) / 2}) = 0$

et donc $(e^{i (θ + π) / 2} = {ie}^{i θ / 2}$ est un vecteur directeur de la droite $Ker (f)$

$Ker (f) = Vect {{ie}^{i θ / 2}} = i Im (f) .$

Exercice 11 5202

Soient $θ \in ℝ$ et $f : ℂ \to ℂ$ définie par $f (z) = z + e^{i θ} \bar{z}$ .

(a)

Vérifier que $f$ est un endomorphisme du $ℝ$ -espace vectoriel $ℂ$ .
(b)

Former la matrice de l’endomorphisme $f$ dans la base $(1, i)$ .
(c)

Déterminer le rang, l’image et le noyau de $f$ .

Exercice 12 5616 Correction

Soient $(a, b) \in ℂ^{2}$ et $f_{a, b} : ℂ \to ℂ$ définie par $f_{a, b} (z) = a z + b \bar{z}$ .

(a)

Vérifier que $f_{a, b}$ est un endomorphisme du $ℝ$ -espace vectoriel $ℂ$ .
(b)

Former la matrice de $f_{a, b}$ dans la base $(1, i)$ .
(c)

À quelle condition sur $a$ et $b$ , l’endomorphisme $f_{a, b}$ est-il inversible?
(d)

Soit $f : ℂ \to ℂ$ un endomorphisme du $ℝ$ -espace vectoriel $ℂ$ .

Établir qu’il existe un unique couple $(a, b) \in ℂ^{2}$ tel que $f = f_{a, b}$ .

Solution

(a)

On vérifie sans peine que, pour tous $λ_{1}, λ_{2} \in ℝ$ et tous $z_{1}, z_{2} \in ℂ$ ,

$f_{a, b} (λ_{1} z_{1} + λ_{2} z_{2}) = λ_{1} f_{a, b} (z_{1}) + λ_{2} f_{a, b} (z_{2}) .$
(b)

On a $f_{a, b} (1) = a + b$ et $f_{a, b} (i) = i (a - b)$ . Afin d’identifier partie réelle et imaginaire, on écrit

$a = Re (a) + i Im (a) et b = Re (b) + i Im (b) .$

On peut alors former la matrice de $f_{a, b}$

${Mat}_{(1, i)} (f_{a, b}) = (\begin{matrix} Re (a) + Re (b) & Im (b) - Im (a) \\ Im (a) + Im (b) & Re (a) - Re (b) \end{matrix}) .$
(c)

On a

$\det (f_{a, b})$ $= (Re (a) + Re (b)) (Re (a) - Re (b)) - (Im (a) + Im (b)) (Im (b) - Im (a))$

$= {| a |}^{2} - {| b |}^{2} .$

L’endomorphisme $f_{a, b}$ est donc inversible si, et seulement si, $| a | \neq | b |$ .
(d)

Soit $f \in ℒ_{ℝ} (ℂ)$ . On exprime la matrice de $f$ dans la base $(1, i)$

${Mat}_{(1, i)} (f) = (\begin{matrix} α & β \\ γ & δ \end{matrix}) avec α, β, γ, δ \in ℝ .$

Par unicité de la représentation matricielle d’un endomorphisme,

$f = f_{a, b}$ $\Leftrightarrow (\begin{matrix} α & γ \\ β & δ \end{matrix}) = (\begin{matrix} Re (a) + Re (b) & Im (b) - Im (a) \\ Im (a) + Im (b) & Re (a) - Re (b) \end{matrix})$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} Re (a) + Re (b) & = α \\ Im (b) - Im (a) & = β \\ Im (a) + Im (b) & = γ \\ Re (a) - Re (b) & = δ . \end{matrix}$

Après résolution du système, on obtient

$f = f_{a, b} \Leftrightarrow {\begin{matrix} a & = \frac{α + δ}{2} + i \frac{γ - β}{2} \\ b & = \frac{α - δ}{2} + i \frac{γ + β}{2} . \end{matrix}$

On peut aussi résoudre la question en montrant que l’application

${\begin{matrix} ℂ^{2} & \to & ℒ_{ℝ} (ℂ) \\ (a, b) & \mapsto & f_{a, b} \end{matrix}$

est un isomorphisme d’espaces vectoriels en constatant qu’elle est linéaire, injective et qu’elle opère entre deux espaces de dimensions finies égales (à 4).

Exercice 13 5409 Correction

Soient $a, b \in ℂ$ et $f_{a, b} : ℂ \to ℂ$ définie par $f_{a, b} (z) = a z + b \bar{z}$ .

(a)

Vérifier que $f_{a, b}$ est un endomorphisme du $ℝ$ -espace vectoriel $ℂ$ .
(b)

Former la matrice de $f_{a, b}$ dans la base $(1, i)$ .
(c)

Calculer le déterminant de $f_{a, b}$ en fonction de $a$ et $b$ .
(d)

Inversement, soit $f : ℂ \to ℂ$ un endomorphisme du $ℝ$ -espace vectoriel $ℂ$ . Montrer qu’il existe d’uniques nombres complexes $a$ et $b$ tels que $f = f_{a, b}$ .
(e)

Déterminer les complexes $a, b$ pour lesquels $f_{a, b}$ désigne une symétrie vectorielle.

Solution

(a)

On vérifie sans peine que, pour tous $λ_{1}, λ_{2} \in ℝ$ et tous $z_{1}, z_{2} \in ℂ$ ,

$f_{a, b} (λ_{1} z_{1} + λ_{2} z_{2}) = λ_{1} f_{a, b} (z_{1}) + λ_{2} f_{a, b} (z_{2}) .$
(b)

On a $f_{a, b} (1) = a + b$ et $f_{a, b} (i) = i (a - b)$ . Afin d’identifier partie réelle et imaginaire, on écrit

$a = Re (a) + i Im (a) et b = Re (b) + i Im (b) .$

On peut alors former la matrice de $f_{a, b}$

${Mat}_{(1, i)} (f_{a, b}) = (\begin{matrix} Re (a) + Re (b) & Im (b) - Im (a) \\ Im (a) + Im (b) & Re (a) - Re (b) \end{matrix}) .$
(c)

Immédiatement,

$\det (f_{a, b})$ $= (Re (a) + Re (b)) (Re (a) - Re (b)) - (Im (a) + Im (b)) (Im (b) - Im (a))$

$= {| a |}^{2} - {| b |}^{2} .$
(d)

Analyse: Supposons $f = f_{a, b}$ . On a $f (1) = f_{a, b} (1)$ et $f (i) = f_{a, b} (i)$ ce qui donne

${\begin{matrix} a + b & = f (1) \\ i (a - b) & = f (i) . \end{matrix}$

Ce système se résout pour fournir

$a = \frac{1}{2} (f (1) - i f (i)) et b = \frac{1}{2} (f (1) + i f (i)) .$

Cela détermine $(a, b) \in ℂ^{2}$ de façon unique.

Synthèse: Pour les valeurs de $a$ et $b$ qui précèdent,

${\begin{matrix} f (1) & = f_{a, b} (1) \\ f (i) & = f_{a, b} (i) . \end{matrix}$

Les endomorphismes $f$ et $f_{a, b}$ sont égaux sur une base donc égaux sur l’espace $ℂ$ entier.
(e)

On observe

$f_{a, b} (f_{a, b} (z)) = (a^{2} + {| b |}^{2}) z + 2 Re (a) b \bar{z} .$

L’endomorphisme $f_{a, b}$ est donc une symétrie si, et seulement si,

${\begin{matrix} a^{2} + {| b |}^{2} & = 1 \\ 2 Re (a) b & = 0 . \end{matrix}$

Dans le cas $b = 0$ , on obtient $a = \pm 1$ .

Dans le cas $b \neq 0$ , on obtient

$a = i x et b = \sqrt{1 + x^{2}} e^{i θ} avec (x, θ) \in ℝ^{2} .$

En écrivant $x = sh (φ)$ avec $φ \in ℝ$ , on obtient aussi l’écriture

$a = i sh (φ) et b = ch (φ) e^{i θ} .$

Exercice 14 1270 Correction

On considère les sous-espaces vectoriels supplémentaires de $ℝ^{3}$ suivants:

P = {(x, y, z) \in ℝ^{3} | x + 2 y - z = 0} et D = Vect (w) où w = (1,0, - 1) .

On note $ℬ = (i, j, k)$ la base canonique de $ℝ^{3}$ .

On note $p$ la projection vectorielle sur $P$ parallèlement à $D$ , $q$ celle sur $D$ parallèlement à $P$ , et enfin, $s$ la symétrie vectorielle par rapport à $P$ et parallèlement à $D$ .

(a)

Former la matrice de $p$ dans $ℬ$ .
(b)

En déduire les matrices, dans $ℬ$ , de $q$ et de $s$ .

Solution

(a)

Pour $u = (x, y, z)$ calculons $p (u) = (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ .
Comme $p (u) - u \in D$ , il existe $λ \in 𝕂$ tel que $p (u) = u + λ . w$ .
Comme $p (u) \in P$ on a $x^{'} + 2 y^{'} - z^{'} = 0$ ce qui donne

$λ = - (x + 2 y - z) / 2$

et donc

$p (u) = ((x - 2 y + z) / 2, y, (x + 2 y + z) / 2) .$

Par suite,

${Mat}_{ℬ} (p) = (\begin{matrix} 1 / 2 & - 1 & 1 / 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 / 2 & 1 & 1 / 2 \end{matrix}) .$
(b)

Comme $q = I - p et s = 2 p - I$ ,

${Mat}_{ℬ} (q) = (\begin{matrix} 1 / 2 & 1 & - 1 / 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 1 / 2 & - 1 & 1 / 2 \end{matrix}) et {Mat}_{ℬ} (s) = (\begin{matrix} 0 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{matrix}) .$

Exercice 15 5302 Correction

Dans l’espace $ℝ^{3}$ , donner la matrice dans la base canonique de la projection sur le plan $P$ d’équation $x + y + z = 0$ parallèlement à la droite $D$ d’équations $x = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$ .

Solution

Soit $u = (x, y, z) \in ℝ^{3}$ . Le projeté $u^{'} = (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ de $u$ sur $P$ parallèlement à $D$ est caractérisé géométriquement par

u^{'} \in P et u^{'} - u \in D = Vect {(1,2,3)}

ce qui donne les conditions

{\begin{matrix} x^{'} + y^{'} + z^{'} & = 0 \\ x^{'} & = λ + x \\ y^{'} & = 2 λ + y \\ z^{'} & = 3 λ + z \end{matrix}

(avec $λ \in ℝ$ ). Après résolution, on obtient

{\begin{matrix} x^{'} & = \frac{1}{6} (5 x - y - z) \\ y^{'} & = \frac{1}{6} (- 2 x + 4 y - 2 z) \\ z^{'} & = \frac{1}{6} (- 3 x - 3 y + 3 z) . \end{matrix}

La matrice cherchée est donc

\frac{1}{6} (\begin{matrix} 5 & - 1 & - 1 \\ - 2 & 4 & - 2 \\ - 3 & - 3 & 3 \end{matrix}) .

Exercice 16 714 Correction

Soit $A = {(a_{i, j})}_{1 \leq i, j \leq n + 1} \in ℳ_{n + 1} (ℝ)$ la matrice dont le coefficient général est donné par un coefficient binomial:

a_{i, j} = (\binom{j - 1}{i - 1}) .

Soit $φ \in ℒ (ℝ_{n} [X])$ l’endomorphisme représenté par la matrice $A$ dans la base canonique $(1, X, \dots, X^{n})$ .

(a)

Exprimer simplement $φ (P)$ pour tout $P \in ℝ_{n} [X]$ .
(b)

Calculer $A^{m}$ pour tout $m \in ℕ$ .
(c)

Calculer $A^{- 1}$ .

Solution

(a)

Pour $0 \leq k \leq n$ ,

$φ (X^{k}) = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{k}{i}) X^{i} = \sum_{i = 0}^{k} (\binom{k}{i}) X^{i} + \sum_{i = k + 1}^{n} \underset{\begin{matrix} = 0 \end{matrix}}{\underset{⏟}{(\binom{k}{i})}} X^{i} = {(X + 1)}^{k} .$

On en déduit

$φ (P) = P (X + 1) .$
(b)

$φ^{m} (P) = P (X + m)$ donc

$φ^{m} (X^{k}) = {(X + m)}^{k} = \sum_{i = 0}^{k} (\binom{k}{i}) m^{k - i} X^{i} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{k}{i}) m^{k - i} X^{i}$

d’où

$A^{m} = {(m^{j - i} a_{i, j})}_{1 \leq i, j \leq n + 1} .$
(c)

$φ^{- 1} (P) = P (X - 1)$ donc

$φ^{- 1} (X^{k}) = {(X - 1)}^{k}$

d’où

$A^{- 1} = {({(- 1)}^{j - i} a_{i, j})}_{1 \leq i, j \leq n + 1} .$

Exercice 17 5201

Soit $n \in ℕ$ . Pour $P \in ℝ_{n} [X]$ , on pose $φ (P) = n X P - (X^{2} - 1) P^{'}$ .

(a)

Vérifier que $φ$ définit un endomorphisme de $ℝ_{n} [X]$ .
(b)

Former la matrice de $φ$ dans la base¹¹ 1 La famille des ${(X - 1)}^{k}$ pour $k = 0, \dots, n$ est une base de $ℝ_{n} [X]$ car il s’agit d’une famille de polynômes de degrés étagés (voir le sujet 5186). On peut aussi dire que c’est la base liée à la formule de Taylor en $λ = 1$ . ${({(X - 1)}^{k})}_{0 \leq k \leq n}$ .
(c)

L’endomorphisme $φ$ est-il bijectif?

Exercice 18 3160 CCINP (MP)Correction

Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie $n \geq 2$ .

(a)

Indiquer des endomorphismes de $E$ dont la représentation matricielle est la même dans toutes les bases de $E$ .
(b)

Soit $(e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ . Montrer que pour tout $i \in {2, \dots, n}$ , la famille $(e_{1} + e_{i}, e_{2}, \dots, e_{n})$ est une base de $E$ .
(c)

Déterminer tous les endomorphismes de $E$ dont la représentation matricielle est diagonale dans toutes les bases de $E$ .
(d)

Quels sont les endomorphismes de $E$ dont la représentation matricielle est la même dans toutes les bases de $E$ ?

Solution

(a)

Les endomorphismes $λ {Id}_{E}$ ont la propriété voulue.
(b)

Les familles $(e_{1}, \dots, e_{n})$ et $(e_{1} + e_{i}, e_{2}, \dots, e_{n})$ engendrent le même espace vectoriel. Étant toutes deux formées de $n$ vecteurs, si l’une est libre, l’autre aussi.
(c)

Soit $u$ un endomorphisme de $E$ dont la matrice est diagonale dans toutes les bases de $E$ .
La matrice de $u$ dans la base $(e_{1}, \dots, e_{n})$ est de la forme $diag (λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n})$ .
Puisque la matrice de $u$ dans la base $(e_{1} + e_{i}, e_{2}, \dots, e_{n})$ est aussi diagonale, il existe $α \in ℝ$ tel que

$u (e_{1} + e_{i}) = α (e_{1} + e_{i}) .$

Or par linéarité

$u (e_{1} + e_{i}) = u (e_{1}) + u (e_{i}) = λ_{1} e_{1} + λ_{i} e_{i} .$

Par liberté de la famille $(e_{1}, e_{i})$ on identifie les scalaires et l’on peut affirmer

$λ_{1} = α = λ_{i} .$

Ainsi, si un endomorphisme à une représentation matricielle diagonale dans toutes les bases de $E$ , sa matrice est de la forme $λ I_{n}$ et donc cet endomorphisme est de la forme $λ {Id}_{E}$ .
(d)

Soit $u$ un tel endomorphisme. Si $A = (a_{i, j})$ est sa matrice dans une base $(e_{1}, \dots, e_{n})$ alors sa matrice dans la base $(e_{1},2 e_{2}, \dots, n e_{n})$ a pour coefficient général

$\frac{j}{i} a_{i, j}$

et comme cette matrice doit être égale à la précédente, on obtient

$\forall i, j \in {1, \dots, n}, i \neq j ⟹ a_{i, j} = 0 .$

Ainsi, cet endomorphisme a une matrice diagonale dans toute base de $E$ et en vertu de ce qui précède, il est de la forme $λ {Id}_{E}$ avec $λ \in ℝ$ .

[<] Matrice d'un endomorphisme[>] Image et noyau d'une matrice

Exercice 19 1277 Correction

Soit $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel muni d’une base $ℬ = (i, j, k)$ .
Soit $f$ l’endomorphisme de $E$ dont la matrice dans $ℬ$ est

A = (\begin{matrix} 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - 1 & 0 \end{matrix}) .

(a)

Calculer $A^{2}$ . Qu’en déduire sur $f$ ?
(b)

Déterminer une base de $Im (f)$ et $Ker (f)$ .
(c)

Quelle est la matrice de $f$ relativement à une base adaptée à la supplémentarité de $Im (f)$ et $Ker (f)$ ?

Solution

(a)

$A^{2} = (\begin{matrix} 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - 1 & 0 \end{matrix}) = A$

donc $f$ est une projection vectorielle.
(b)

En résolvant les équations $f (x) = x$ et $f (x) = 0$ on obtient que $(u, v)$ forme une base de $Im (f)$ et $(w)$ forme une base de $Ker (f)$ avec $u = i + j, v = i + k$ et $w = i + j + k$ .
(c)

${Mat}_{(u, v, w)} (f) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .$

Exercice 20 4538

Déterminer les transformations vectorielles de $ℝ^{3}$ réalisées par les endomorphismes figurés dans la base canonique par les matrices:

(a)

$A = (\begin{matrix} 3 & - 4 & 2 \\ 1 & - 1 & 1 \\ - 1 & 2 & 0 \end{matrix})$
(b)

$B = (\begin{matrix} 0 & 0 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 0 & 0 \end{matrix})$ .

Exercice 21 4528

Soit $f$ l’endomorphisme de $ℝ^{3}$ figuré dans la base canonique par la matrice

A = (\begin{matrix} - 1 & 3 & - 3 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix}) .

On introduit les vecteurs $e_{1} = (1,1,0)$ , $e_{2} = (- 1,1,1)$ et $e_{3} = (0,1,1)$ .

(a)

Montrer que $ℬ = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ est une base de $ℝ^{3}$ .
(b)

Écrire la matrice de $f$ dans cette base.
(c)

Sans calculs, déterminer une base de $Ker (f)$ et de $Im (f)$ .

Exercice 22 1278 Correction

Soit

A = (\begin{matrix} 2 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{matrix}) .

On note $ℬ = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ la base canonique de $ℝ^{3}$ .
Soit $f$ l’endomorphisme de $ℝ^{3}$ dont la matrice dans $ℬ$ est $A$ .

(a)

Déterminer $Ker (f)$ et $Im (f)$ . Démontrer que ces sous-espaces sont supplémentaires dans $ℝ^{3}$ .
(b)

Déterminer une base adaptée à cette supplémentarité et écrire la matrice de $f$ dans cette base.
(c)

Décrire $f$ comme composée de transformations vectorielles élémentaires.

Solution

(a)

$Ker (f) = Vect (u)$ avec $u = (1,1,1)$ . $Im (f) = Vect (v, w)$ avec $v = (2, - 1, - 1), w = (- 1,2, - 1)$ .
Comme $𝒞 = (u, v, w)$ est libre on peut conclure que $Ker (f)$ et $Im (f)$ sont supplémentaires dans $ℝ^{3}$ .
(b)

$𝒞$ est une base adaptée à la supplémentarité de $Ker (f)$ et $Im (f)$ .

${Mat}_{𝒞} (f) = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}) .$
(c)

$f$ est la composée, commutative, de l’homothétie vectorielle de rapport 3 avec la projection vectorielle sur $Im (f)$ parallèlement à $Ker (f)$ .

Exercice 23 4537

Soit $f$ l’endomorphisme de $ℝ^{3}$ figuré dans la base canonique par la matrice

A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) .

(a)

Déterminer le noyau et l’image de $f$ .
(b)

Vérifier que ces espaces sont supplémentaires et exprimer la matrice de $f$ dans une base adaptée à cette supplémentarité.
(c)

Décrire $f$ comme la composition de deux transformations vectorielles simples.

[<] Étude d'endomorphisme connu par sa matrice[>] Changement de bases

Exercice 24 4530

Déterminer le noyau et l’image de la matrice

A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 \end{matrix}) \in ℳ_{3} (ℝ) .

Exercice 25 4531

Soient $A \in ℳ_{n, p} (𝕂)$ et $B \in ℳ_{p, q} (𝕂)$ . Montrer

A B = O_{n, q} \Leftrightarrow Im (B) \subset Ker (A) .

Exercice 26 1288 Correction

Soient $n \in ℕ^{*}$ et $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ définie par

M = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & 1 & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ 0 & ⋱ & ⋱ & 1 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{matrix}) .

(a)

Donner le rang de $M$ et la dimension de son noyau.
(b)

Préciser noyau et image de $M$ .
(c)

Calculer $M^{n}$ .

Solution

(a)

En retirant la première ligne à la dernière

$rg (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & 1 & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ 0 & ⋱ & ⋱ & 1 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{matrix}) = rg (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & 1 & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ 0 & ⋱ & ⋱ & 1 \\ 0 & - 1 & \dots & 0 & 1 \end{matrix})$

puis en ajoutant la deuxième ligne à la dernière etc.

$rg (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & 1 & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ 0 & ⋱ & ⋱ & 1 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{matrix}) = rg (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & 1 & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ 0 & ⋱ & ⋱ & 1 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 1 - {(- 1)}^{n} \end{matrix}) .$

Si $n$ est pair alors $rg (M) = n - 1$ , sinon $rg (M) = n$ .
(b)

Cas: $n$ impair. C’est immédiat, la matrice $M$ est inversible.

Cas: $n$ pair.

$Ker (M) = Vect ({(\begin{matrix} 1 & - 1 & \dots & 1 & - 1 \end{matrix})}^{⊤})$

et

$Im (M) : x_{1} - x_{2} + x_{3} + \dots + x_{n - 1} - x_{n} = 0 .$
(c)

$M = I + N$ avec la matrice de permutation

$N = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ 0 & ⋱ & ⋱ & 1 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \end{matrix}) .$

On en déduit

$M^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) N^{k} = (\begin{matrix} 2 (\binom{n}{0}) & (\binom{n}{1}) & (\binom{n}{2}) & \dots & (\binom{n}{n - 1}) \\ (\binom{n}{n - 1}) & 2 (\binom{n}{0}) & (\binom{n}{1}) & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & (\binom{n}{2}) \\ (\binom{n}{2}) & ⋱ & ⋱ & (\binom{n}{1}) \\ (\binom{n}{1}) & (\binom{n}{2}) & \dots & (\binom{n}{n - 1}) & 2 (\binom{n}{0}) \end{matrix})$

en notant $(\binom{n}{k})$ le coefficient binomial « $k$ parmi $n$ ».

Exercice 27 5323 Correction

Soit $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ . On suppose qu’il existe une colonne $Y_{0} \in ℳ_{n,1} (𝕂)$ telle que l’équation $A X = Y_{0}$ d’inconnue $X \in ℳ_{n,1} (𝕂)$ possède une unique solution $X_{0}$ .

Montrer que pour tout $Y \in ℳ_{n,1} (𝕂)$ , l’équation $A X = Y$ admet une unique solution.

Solution

Méthode: On montre que la matrice $A$ est inversible en observant que son noyau est réduit à la colonne nulle.

Soit $X \in Ker (A)$ . On a $A X = 0$ et donc $A (X_{0} + X) = Y_{0}$ . Par unicité de la solution à l’équation $A X = Y_{0}$ , on obtient $X_{0} + X = X_{0}$ et donc $X = 0$ . Ainsi, le noyau de $A$ est réduit à la colonne nulle¹¹ 1 Aussi, on peut affirmer que l’ensemble des solutions de l’équation linéaire $A X = Y$ est soit vide, soit égal à un sous-espace affine de direction $Ker (A)$ . Ici, lorsque $Y = Y_{0}$ , l’ensemble des solutions est réduit à un point ce qui entraîne que le noyau de $A$ est réduit à l’élément nul. et l’on peut affirmer que la matrice carrée $A$ est inversible.

On en déduit que, pour tout $Y \in ℳ_{n,1} (𝕂)$ , l’équation $A X = Y$ admet une unique solution qui est $X = A^{- 1} Y$ .

[<] Image et noyau d'une matrice[>] Matrice d'un endomorphisme dans une base bien choisie (similitude)

Exercice 28 4529

Soient $E$ un espace vectoriel réel muni d’une base $ℬ = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ et $f$ l’endomorphisme de $E$ figuré dans la base $ℬ$ par la matrice

A = (\begin{matrix} - 3 & - 1 & 1 \\ 4 & 2 & - 1 \\ 2 & 2 & - 1 \end{matrix}) .

On pose $e_{1}^{'} = e_{2} + e_{3}$ , $e_{2}^{'} = e_{1} - e_{2} + e_{3}$ et $e_{3}^{'} = e_{1} - e_{2}$ .

(a)

Vérifier que $ℬ^{'} = (e_{1}^{'}, e_{2}^{'}, e_{3}^{'})$ est une base de $E$ .
(b)

Former la matrice $D$ de $f$ dans la base $ℬ^{'}$ .
(c)

Exprimer la matrice de passage $P$ de $ℬ$ à $ℬ^{'}$ et son inverse $P^{- 1}$ .
(d)

Quelle relation relie les matrices $A$ , $D$ et $P$ ?
(e)

En déduire une expression de $A^{n}$ pour tout $n \in ℕ$ .

Exercice 29 1282 Correction

Soit $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel muni d’une base $ℬ = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ .
Soit $f$ l’endomorphisme de $E$ dont la matrice dans $ℬ$ est

A = (\begin{matrix} 2 & - 1 & 0 \\ - 2 & 1 & - 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{matrix}) .

Soit $ℬ^{'} = (ε_{1}, ε_{2}, ε_{3})$ la famille définie par

{\begin{matrix} ε_{1} = e_{1} + e_{2} - e_{3} \\ ε_{2} = e_{1} - e_{3} \\ ε_{3} = e_{1} - e_{2} . \end{matrix}

(a)

Montrer que $ℬ^{'}$ est une base de $E$ et former la matrice $D$ de $f$ dans $ℬ^{'}$ .
(b)

Exprimer la matrice de passage $P$ de $ℬ$ à $ℬ^{'}$ et calculer $P^{- 1}$ .
(c)

Quelle relation lie les matrices $A, D, P$ et $P^{- 1}$ ?
(d)

Calculer $A^{n}$ pour tout $n \in ℕ$ .

Solution

(a)

$ℬ^{'}$ est libre et formée de trois vecteurs en dimension 3, c’est une base de $E$ .
$f (ε_{1}) = ε_{1}, f (ε_{2}) = 2 ε_{2}, f (ε_{3}) = 3 ε_{3}$ donc $D = diag (1,2,3)$ .
(b)

$P = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 0 \end{matrix}), P^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) .$
(c)

Par formule de changement base

$A = P D P^{- 1} .$
(d)

Puisqu’il est facile de calculer $D^{n}$

$A^{n} = P D^{n} P^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \end{matrix}) + 2^{n} (\begin{matrix} - 1 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix}) + 3^{n} (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .$

Exercice 30 717 Correction

Soit $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension 3 muni d’une base $e = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ .
Soit $f \in ℒ (E)$ dont la matrice dans la base $e$ est

A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 1 & 2 \end{matrix}) .

On pose $e_{1}^{'} = e_{1} + e_{3}$ , $e_{2}^{'} = e_{1} + e_{2}$ et $e_{3}^{'} = e_{1} + e_{2} + e_{3}$ .

(a)

Montrer que la famille $e^{'} = (e_{1}^{'}, e_{2}^{'}, e_{3}^{'})$ est une base de $E$ et déterminer la matrice $B$ de $f$ dans $e^{'}$ .
(b)

Calculer $A^{n}$ pour tout $n \in ℕ$ .

Solution

(a)

On introduit la matrice

$P = {Mat}_{e} (e^{'}) = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) .$

On vérifie que la matrice $P$ est inversible (soit par le calcul de son déterminant, soit par un calcul de rang). Cela assure que la famille $e^{'}$ est une base de $E$ . En évaluant l’image d’un vecteur par l’application linéaire $f$ par la formule $Y = A X$ , on obtient

${\begin{matrix} f (e_{1}^{'}) & = e_{1} + e_{3} = e_{1}^{'} \\ f (e_{2}^{'}) & = e_{1} + e_{2} = e_{2}^{'} \\ f (e_{3}^{'}) & = 2 e_{1} + e_{2} + e_{3} = e_{1}^{'} + e_{3}^{'} . \end{matrix}$

On peut donc former la matrice

$B = {Mat}_{e^{'}} (f) = {Mat}_{e^{'}} (f (e_{1}^{'}), f (e_{2}^{'}), f (e_{3}^{'})) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .$
(b)

Par récurrence, on vérifie

$\forall n \in ℕ, B^{n} = (\begin{matrix} 1 & 0 & n \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .$

Par formule de changement de base, $A = P D P^{- 1}$ et donc $A^{n} = P B^{n} P^{- 1}$ .

En renversant le système

${\begin{matrix} e_{1}^{'} & = e_{1} + e_{3} \\ e_{2}^{'} & = e_{1} + e_{2} \\ e_{3}^{'} & = e_{1} + e_{2} + e_{3} \end{matrix}$

on obtient

${\begin{matrix} e_{1} & = e_{1}^{'} - e_{2}^{'} \\ e_{2} & = - e_{1}^{'} + e_{3}^{'} \\ e_{3} & = - e_{2}^{'} + e_{3}^{'} \end{matrix}$

ce qui détermine

$P^{- 1} = {Mat}_{e^{'}} (e) = (\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 1 & 1 \end{matrix}) .$

En écrivant $B^{n} = I_{3} + n E_{1,3}$ , on simplifie le déroulement du calcul de $A^{n}$ et l’on obtient

$A^{n} = I_{n} + n P E_{1,3} P^{- 1} = (\begin{matrix} 1 - n & n & n \\ 0 & 1 & 0 \\ - n & n & n + 1 \end{matrix}) .$

Exercice 31 718 Correction

Soit $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension 3 muni d’une base $ℬ = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ .
Soit $f \in ℒ (E)$ dont la matrice dans la base $ℬ$ est

A = (\begin{matrix} 0 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}) .

On pose $ε_{1} = e_{1} + e_{3}$ , $ε_{2} = e_{1} + e_{2}$ et $ε_{3} = e_{1} + e_{2} + e_{3}$ .

(a)

Montrer que $ℬ^{'} = (ε_{1}, ε_{2}, ε_{3})$ forme une base de $E$ et déterminer la matrice de $f$ dans $ℬ^{'}$ .
(b)

Calculer $A^{n}$ .

Solution

(a)

On vérifie aisément que la famille $ℬ^{'}$ est libre et c’est donc une base de $E$ .
$f (ε_{1}) = ε_{1}, f (ε_{2}) = ε_{1} + ε_{2}, f (ε_{3}) = ε_{1} + ε_{2} + ε_{3}$ donc

${Mat}_{ℬ^{'}} f = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = B .$
(b)

$B = I_{3} + J$ avec

$J = (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}), J^{2} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .$

Puisque $I_{3}$ et $J$ commutent la formule du binôme donne

$B^{n} = I_{3} + n J + \frac{n (n - 1)}{2} J^{2}$

car $J^{k} = O_{3}$ pour $k \geq 3$ .
Par formule de changement de base, on obtient

$A^{n} = (\begin{matrix} 1 - \frac{n (n + 1)}{2} & \frac{n (n + 3)}{2} & \frac{n (n + 1)}{2} \\ - n & n + 1 & n \\ - \frac{n (n - 1)}{2} & \frac{n (n + 1)}{2} & 1 + \frac{n (n - 1)}{2} \end{matrix}) .$

Exercice 32 716 Correction

Soit $f \in ℒ (ℝ^{3})$ représenté dans la base canonique $ℬ$ par

(\begin{matrix} 2 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}) .

(a)

Soit $𝒞 = (ε_{1}, ε_{2}, ε_{3})$ avec $ε_{1} = (1,0,1), ε_{2} = (- 1,1,0), ε_{3} = (1,1,1)$ . Montrer que $𝒞$ est une base.
(b)

Déterminer la matrice de $f$ dans $𝒞$ .
(c)

Calculer la matrice de $f^{n}$ dans $ℬ$ pour tout $n \in ℕ$ .

Solution

(a)

On vérifie aisément que famille $𝒞$ est libre et c’est donc une base de $ℝ^{3}$ .
(b)

$f (ε_{1}) = ε_{1}$ , $f (ε_{2}) = ε_{2}$ et $f (ε_{3}) = ε_{1} + ε_{3}$ donc

${Mat}_{𝒞} f = (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .$
(c)

Par récurrence:

${Mat}_{𝒞} (f^{n}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & n \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .$

Par la formule de changement de bases avec

$P = (\begin{matrix} 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) et P^{- 1} = (\begin{matrix} - 1 & - 1 & 2 \\ - 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \end{matrix})$

on obtient

${Mat}_{ℬ} (f^{n}) = (\begin{matrix} n + 1 & n & - n \\ 0 & 1 & 0 \\ n & n & 1 - n \end{matrix}) .$

Exercice 33 1283 Correction

Soit $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel muni d’une base $ℬ = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ .
Soit $f$ l’endomorphisme de $E$ dont la matrice dans $ℬ$ est

A = (\begin{matrix} 3 & - 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}) .

(a)

Montrer qu’il existe une base $𝒞 = (ε_{1}, ε_{2}, ε_{3})$ de $E$ dans laquelle la matrice représentative de $f$ est une matrice diagonale $D$ de coefficients diagonaux: $1,2$ et $3$ .
(b)

Déterminer la matrice de passage $P$ de $ℬ$ à $𝒞$ . Calculer $P^{- 1}$ .
(c)

Quelle relation lie les matrices $A, D, P et P^{- 1}$ ?
(d)

Calculer $A^{n}$ pour tout $n \in ℕ$ .

Solution

(a)

En recherchant des vecteurs tels que $f (x) = x, f (x) = 2 x$ et $f (x) = 3 x$ on observe que $ε_{1} = (- 1,1,2), ε_{2} = (0,1,1) et ε_{3} = (1,1,1)$ conviennent. De plus, ces trois vecteurs forment une famille libre et donc une base de $ℝ^{3}$ .
(b)

$P = (\begin{matrix} - 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix}) et P^{- 1} = (\begin{matrix} 0 & - 1 & 1 \\ - 1 & 3 & - 2 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix}) .$
(c)

Par changement base

$A = P D P^{- 1} .$
(d)

Sachant calculer $D^{n}$ on obtient

$A^{n} = (\begin{matrix} 3^{n} & 1 - 3^{n} & - 1 + 3^{n} \\ - 2^{n} + 3^{n} & - 1 + {3.2}^{n} - 3^{n} & 1 - {2.2}^{n} + 3^{n} \\ - 2^{n} + 3^{n} & - 2 + {3.2}^{n} - 3^{n} & 2 - {2.2}^{n} + 3^{n} \end{matrix})$

que l’on peut encore écrire

$A^{n} = (\begin{matrix} 0 & 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & - 2 & 2 \end{matrix}) + 2^{n} (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 3 & - 2 \\ - 1 & 3 & - 2 \end{matrix}) + 3^{n} (\begin{matrix} 1 & - 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix}) .$

Exercice 34 4540

Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension $3$ muni d’une base $ℬ = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ .

On considère les matrices

A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 \end{matrix}) et D = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .

Soit $f$ l’endomorphisme de $E$ figuré par la matrice $A$ dans la base $ℬ$ .

(a)

Montrer que l’endomorphisme $f$ peut être représenté par la matrice $D$ .
(b)

En déduire une matrice $P \in {GL}_{3} (ℝ)$ telle que $A = P D P^{- 1}$ .
(c)

On considère les suites réelles $(x_{n})$ , $(y_{n})$ et $(z_{n})$ déterminées par:

${\begin{matrix} x_{0} & = 1 \\ y_{0} & = 0 \\ z_{0} & = 0 \end{matrix} et {\begin{matrix} x_{n + 1} & = y_{n} & + z_{n} \\ y_{n + 1} & = x_{n} & + z_{n} \\ z_{n + 1} & = x_{n} & - y_{n} \end{matrix} pour tout n \in ℕ .$

Exprimer $x_{n}$ , $y_{n}$ et $z_{n}$ pour tout $n \geq 1$ .

Exercice 35 1284 Correction

Soit $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension 3 et $ℬ = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ une base de $E$ .
On considère les matrices

A = (\begin{matrix} 4 & - 2 & - 2 \\ 1 & 0 & - 1 \\ 3 & - 2 & - 1 \end{matrix}) et D = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}) .

Soit $f$ l’endomorphisme de $E$ dont la matrice dans la base $ℬ$ est $A$ .

(a)

Montrer qu’il existe une base $𝒞 = (ε_{1}, ε_{2}, ε_{3})$ de $E$ telle que la matrice de $f$ dans $𝒞$ soit $D$ .
(b)

Déterminer la matrice $P$ de ${GL}_{3} (ℝ)$ telle que $A = P D P^{- 1}$ . Calculer $P^{- 1}$ .
(c)

Calculer $A^{n}$ pour tout $n \in ℕ$ .
(d)

En déduire le terme général des suites ${(x_{n})}_{n \in ℕ}, {(y_{n})}_{n \in ℕ}$ et ${(z_{n})}_{n \in ℕ}$ définies par:

${\begin{matrix} x_{0} = 1 \\ y_{0} = 0 \\ z_{0} = 0 \end{matrix} et {\begin{matrix} x_{n + 1} = 4 x_{n} - 2 (y_{n} + z_{n}) \\ y_{n + 1} = x_{n} - z_{n} \\ z_{n + 1} = 3 x_{n} - 2 y_{n} - z_{n} \end{matrix} pour tout n \in ℕ .$

Solution

(a)

En résolvant les équations: $f (u) = 0, f (u) = u et f (u) = 2 u$ on trouve que $ε_{1} = e_{1} + e_{2} + e_{3}, ε_{2} = e_{2} - e_{3} et ε_{3} = e_{1} + e_{3}$ sont des vecteurs tels que $f (ε_{1}) = 0, f (ε_{2}) = ε_{2}, f (ε_{3}) = 2 ε_{3}$ .
On vérifie aisément que la famille $𝒞$ est libre et c’est donc une base de $E$ , celle-ci convient.
(b)

On a

$P = (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix}), P^{- 1} = (\begin{matrix} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \end{matrix}) .$
(c)

Par changement de base

$A^{n} = P D^{n} P^{- 1} = (\begin{matrix} 2^{n + 1} & - 2^{n} & - 2^{n} \\ 1 & 0 & - 1 \\ 2^{n + 1} - 1 & - 2^{n} & 1 - 2^{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \end{matrix}) + 2^{n} (\begin{matrix} 2 & - 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & - 1 \end{matrix}) .$
(d)

Posons $X_{n} = {(\begin{matrix} x_{n} & y_{n} & z_{n} \end{matrix})}^{⊤}$ . On observe $X_{n + 1} = A X_{n}$ . Par récurrence $X_{n} = A^{n} X_{0}$ .
Avec $X_{0} = {(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \end{matrix})}^{⊤}$ on obtient

${\begin{matrix} x_{n} = 2^{n + 1} \\ y_{n} = 1 \\ z_{n} = 2^{n + 1} - 1 . \end{matrix}$

Exercice 36 3212 CCINP (MP)Correction

Soient $b = (i, j)$ et $B = (I, J)$ deux bases d’un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension 2 et $P$ la matrice de passage de $b$ à $B$ .
Pour $x \in E$ , notons

v = {Mat}_{b} x et V = {Mat}_{B} x .

(a)

Retrouver la relation entre $v$ et $V$ .
(b)

Soient $f \in ℒ (E)$ et

$m = {Mat}_{b} f et M = {Mat}_{B} f .$

Retrouver la relation entre $m$ et $M$ .
(c)

Par quelle méthode peut-on calculer $m^{n}$ lorsque l’on connaît deux vecteurs propres non colinéaires de $f$ .

Solution

(a)

$P$ est la matrice de l’application ${Id}_{E}$ dans les bases $B$ au départ et $b$ à l’arrivée.
La relation $x = {Id}_{E} (x)$ donne matriciellement $v = P V$ .
(b)

La relation $f = {Id}_{E}^{- 1} \circ f \circ {Id}_{E}$ donne matriciellement $M = P^{- 1} m P$ .
(c)

Dans une base de vecteurs propres, la matrice de $f$ est diagonale et ses puissances sont alors faciles à calculer. Par changement de base, on en déduit $m^{n}$ .

[<] Changement de bases[>] Rang d'une matrice

Exercice 37 1273 Correction

Soient $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension $3$ et $f \in ℒ (E)$ tel que $f^{2} \neq 0$ et $f^{3} = 0$ .

Montrer qu’il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ est

(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) .

Solution

Comme $f^{2} \neq 0$ , il existe $x \in E$ tel que $f^{2} (x) \neq 0$ . Posons

e_{1} = x, e_{2} = f (x), e_{3} = f^{2} (x) .

Si $λ_{1} e_{1} + λ_{2} e_{2} + λ_{3} e_{3} = 0$ alors

λ_{1} x + λ_{2} f (x) + λ_{3} f^{2} (x) = 0 .

En appliquant $f^{2}$ à cette relation, on a $λ_{1} f^{2} (x) = 0$ car on sait $f^{3} = 0$ .
Puisque $f^{2} (x) \neq 0$ , on a $λ_{1} = 0$ et sans plus de difficultés on montre aussi $λ_{2} = 0$ et $λ_{3} = 0$ .
La famille $ℬ = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ est libre en dimension 3, c’est donc une base de $E$ . La matrice de $f$ dans celle-ci est comme voulue.

Exercice 38 5203

Soit $f$ un endomorphisme de $ℝ^{2}$ vérifiant $f^{2} + {Id}_{ℝ^{2}} = 0$ . Montrer que l’on peut trouver une base de $ℝ^{2}$ dans laquelle la matrice de $f$ est

A = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) .

Exercice 39 719 Correction

Soient $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension $n \in ℕ^{*}$ et $f \in ℒ (E)$ tel que $f^{n} = 0$ et $f^{n - 1} \neq 0$ .
Montrer qu’il existe une base $ℬ$ de $E$ pour laquelle:

{Mat}_{ℬ} (f) = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) .

Solution

Soit $x \notin Ker (f^{n - 1})$ . Un tel $x$ existe puisque $f^{n - 1} \neq 0$ .
Considérons la famille $ℬ = (f^{n - 1} (x), \dots, f (x), x)$ .
Supposons

λ_{n - 1} f^{n - 1} (x) + \dots + λ_{1} f (x) + λ_{0} x = 0_{E} .

En y appliquant successivement $f^{n - 1}, \dots, f, Id$ on obtient $λ_{0} = 0, \dots, λ_{n - 2} = 0$ puis $λ_{n - 1} = 0$ car $f^{n - 1} (x) \neq 0_{E}$ .
$ℬ$ est une famille libre formée de $n = dim E$ vecteurs, c’est donc une base de $E$ .
De plus, ${Mat}_{ℬ} (f)$ est de la forme convenable.

Exercice 40 1275 Correction

Soit $f$ un endomorphisme d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ de dimension $n \in ℕ^{*}$ vérifiant

f^{n} = 0 et f^{n - 1} \neq 0 .

(a)

Justifier qu’il existe un vecteur $x \in E$ tel que la famille $ℬ = (x, f (x), f^{2} (x), \dots, f^{n - 1} (x))$ forme une base de $E$ .
(b)

Déterminer les matrices de $f, f^{2}, \dots, f^{n - 1}$ dans cette base.
(c)

En déduire que

${g \in ℒ (E) | g \circ f = f \circ g} = Vect (Id, f, f^{2}, \dots, f^{n - 1}) .$

Solution

(a)

Comme $f^{n - 1} \neq 0, \exists x \in E, f^{n - 1} (x) \neq 0$ .
Si $λ_{0} x + λ_{1} f (x) + \dots + λ_{n - 1} f^{n - 1} (x) = 0$ alors:
en composant avec $f^{n - 1}$ , on obtient $λ_{0} f^{n - 1} (x) = 0$ d’où $λ_{0} = 0$ .
en composant successivement avec $f^{n - 2}, \dots, f, I$ , on obtient successivement $λ_{1} = 0, \dots, λ_{n - 2} = 0, λ_{n - 1} = 0$
Par suite, $ℬ = (x, f (x), f^{2} (x), \dots, f^{n - 1} (x))$ est libre et forme donc une base de $E$ .
(b)

On a

${Mat}_{B} f = (\begin{matrix} 0 & (0) \\ 1 & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ \\ (0) & 1 & 0 \end{matrix}) = A$

puis

${Mat}_{ℬ} (f^{2}) = A^{2} = (\begin{matrix} 0 & (0) \\ 0 & ⋱ \\ 1 & ⋱ & ⋱ \\ (0) & 1 & 0 & 0 \end{matrix}), \dots, .$

${Mat}_{ℬ} (f^{n - 1}) = A^{n - 1} = (\begin{matrix} 0 & (0) \\ 0 & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}) .$
(c)

Notons $C (f) = {g \in ℒ (E) | g \circ f = f \circ g}$ .
Il est clair que $Vect (I, f, f^{2}, \dots, f^{n - 1}) \subset C (f)$ .
Inversement, soit $g \in C (f)$ , notons $a_{0}, \dots, a_{n - 1}$ les composantes de $g (x)$ dans $ℬ$ . On a

${\begin{matrix} g (x) = a_{0} x + a_{1} f (x) + \dots + a_{n - 1} f^{n - 1} (x) \\ g (f (x)) = f (g (x)) = a_{0} f (x) + \dots + a_{n - 2} f^{n - 1} (x) \\ ⋮ \\ g (f^{n - 1} (x)) = f^{n - 1} (g (x)) = a_{0} f^{n - 1} (x) . \end{matrix}$

Par suite,

${Mat}_{ℬ} g = (\begin{matrix} a_{0} & (0) \\ a_{1} & ⋱ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ \\ a_{n - 1} & \dots & a_{1} & a_{0} \end{matrix}) = a_{0} I + a_{1} A + \dots + a_{n - 1} A^{n - 1} .$

Donc $g = a_{0} I + a_{1} f + \dots + a_{n - 1} f^{n - 1} \in Vect (I, f, \dots, f^{n - 1})$ .
Ainsi,

$C (f) = Vect (I, f, f^{2}, \dots, f^{n - 1}) .$

Exercice 41 720

Soit $f$ un endomorphisme d’un espace réel $E$ de dimension finie vérifiant $f^{2} = 0$ .

Montrer qu’il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ s’écrit par blocs

(\begin{matrix} 0 & I_{r} \\ 0 & 0 \end{matrix}) avec r \in ℕ

où les $0$ désignent des blocs nuls de tailles appropriées.

Exercice 42 4154 CCINP (MP)Correction

Soit $f$ un endomorphisme non nul d’un $ℝ$ -espace vectoriel $E$ de dimension $3$ vérifiant $f^{3} + f = 0$ .

(a)

Soit $x \in E$ . Démontrer que si $x = y + z$ avec $y \in Ker (f)$ et $z \in Ker (f^{2} + Id)$ alors $y = x + f^{2} (x)$ et $z = - f^{2} (x)$ .
(b)

Montrer que

$E = Ker (f) \oplus Ker (f^{2} + Id) .$
(c)

Prouver $dim Ker (f^{2} + Id) \geq 1$ . Montrer que, si $x \in Ker (f^{2} + Id) ∖ {0}$ alors $(x, f (x))$ est une famille libre de $Ker (f^{2} + Id)$ .
(d)

Que vaut $\det (- {Id}_{E})$ ? En déduire $dim Ker (f^{2} + Id) = 2$ .
(e)

Déterminer une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ est

$(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) .$

Solution

(a)

Par hypothèse $f (y) = 0$ et $f^{2} (z) = - z$ . En composant l’identité $x = y + z$ avec $f^{2}$ , on obtient

$f^{2} (x) = 0 + f^{2} (z) = - z$

et il en découle

$y = x - z = x + f^{2} (x) .$
(b)

Ce qui précède assure l’unicité de la décomposition d’un vecteur $x$ de $E$ et donc le caractère direct de la somme.

De plus, pour $x \in E$ , en posant $y = x + f^{2} (x)$ et $z = - f^{2} (x)$ , on vérifie $x = y + z$ et

$f (y)$ $= f (x) + f^{3} (x) = (f^{3} + f) (x) = 0$

$(f^{2} + Id) (z)$ $= - f^{4} (x) - f^{2} (x) = - (f^{3} + f) (f (x)) = 0 .$

On peut donc affirmer que $E$ est la somme directe de $Ker (f)$ et $Ker (f^{2} + Id)$ .
(c)

On a $(f^{2} + Id) \circ f = 0$ donc $Im (f) \subset Ker (f^{2} + Id)$ . Or $f \neq 0$ donc $dim Im (f) \geq 1$ puis $dim Ker (f^{2} + Id) \geq 1$ .

Soit $x$ un vecteur non nul de $Ker (f^{2} + Id)$ . Supposons

$λ . x + μ . f (x) = 0 .$ (1)

En composant avec $f$ , on obtient $λ . f (x) + μ . f^{2} (x) = 0$ puis

$λ . f (x) - μ . x = 0 .$ (2)

La combinaison $λ \times (1) - μ \times (2)$ donne $(λ^{2} + μ^{2}) . x = 0$ . Sachant $x \neq 0$ , on obtient $λ^{2} + μ^{2} = 0$ puis $λ = μ = 0$ car $λ$ et $μ$ sont réels. La famille $(x, f (x))$ est donc libre.
(d)

En dimension impaire $\det (- Id) = - 1$ . Si l’endomorphisme $f$ est inversible, la relation $f^{3} + f = 0$ peut être simplifiée en $f^{2} + Id = 0$ . Ceci donne $\det (f^{2}) = \det (- Id) = - 1$ ce qui est incompatible avec $\det (f^{2}) = {(\det (f))}^{2} \geq 0$ . On en déduit que $f$ n’est pas inversible: $dim Ker (f) \geq 1$ .

La conjonction des résultats qui précèdent donne

$dim Ker (f) = 1 et dim Ker (f^{2} + Id) = 2 .$
(e)

Soit $y$ un vecteur non nul de $Ker (f)$ et $x$ un vecteur non nul de $Ker (f^{2} + Id)$ . La famille $(y)$ est base de $Ker (f)$ et la famille $(x, f (x))$ est base de $Ker (f^{2} + Id)$ . Ces deux espaces étant supplémentaires dans $E$ , la famille $(y, x, f (x))$ est base de $E$ . La matrice de $f$ dans celle-ci est de la forme voulue.

Exercice 43 2596 CCINP (PSI)Correction

Soit $f$ un élément non nul de $ℒ (ℝ^{3})$ vérifiant

f^{3} + f = 0 .

Montrer que $ℝ^{3} = Ker (f) \oplus Im (f)$ et que l’on peut trouver une base dans laquelle $f$ a pour matrice

A = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \end{matrix}) .

Solution

Soit $x \in Ker (f) \cap Im (f)$ . Il existe $a \in ℝ^{3}$ tel que $x = f (a)$ et alors

x = - f^{3} (a) = - f^{2} (x) = - f (f (x)) = - f (0) = 0 .

Ainsi $Ker (f) \cap Im (f) = {0}$ puis, par le théorème du rang, on peut affirmer

ℝ^{3} = Ker (f) \oplus Im (f) .

Si $f^{2} + Id = \tilde{0}$ alors $f^{2} = - Id$ puis ${(\det (f))}^{2} = \det (- Id) = - 1$ . C’est impossible.
On en déduit que $f^{2} + Id \neq \tilde{0}$ et puisque $f \circ (f^{2} + Id) = \tilde{0}$ , on a $Ker (f) \neq {0}$ .
Soit $e_{1} \in Ker (f)$ non nul.
Puisque par hypothèse $f$ n’est pas l’application nulle, considérons $e_{2} = f (a) \in Im (f)$ vecteur non nul. Posons $e_{3} = - f (e_{2}) \in Im (f)$ .
On vérifie

f (e_{3}) = - f^{2} (e_{2}) = - f^{3} (a) = f (a) = e_{2} .

De plus, les vecteurs $e_{2}$ et $e_{3}$ ne sont pas colinéaires.
En effet, si $e_{3} = λ e_{2}$ , on obtient en composant par $f$ , $e_{2} = - λ e_{3}$ et l’on en déduit $e_{2} = - λ^{2} e_{2}$ . Sachant $e_{2} \neq 0$ , on obtient $λ^{2} = - 1$ ce qui est impossible avec $λ \in ℝ$ .
Puisque $(e_{2}, e_{3})$ est une famille libre de $Im (f)$ et puisque $(e_{1})$ est une famille libre de $Ker (f)$ , on peut affirmer que $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ est une base de $ℝ^{3}$ . Dans celle-ci, la matrice de $f$ est égale à $A$ .

Exercice 44 2679 MINES (MP)Correction

Soient $f, g \in ℒ (ℝ^{2})$ tel que $f^{2} = g^{2} = 0$ et $f \circ g = g \circ f$ . Calculer $f \circ g$ .

Solution

Si $f = 0$ alors $f \circ g = 0$ .

Sinon, il existe une base de $ℝ^{2}$ dans laquelle la matrice de $f$ est

A = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) .

La matrice de $g$ commutant avec celle de $f$ , elle est de la forme

(\begin{matrix} a & b \\ 0 & a \end{matrix}) .

Puisque $g^{2} = 0$ , il vient $a = 0$ .

Par suite, la matrice de $f \circ g$ est nulle.

[<] Matrice d'un endomorphisme dans une base bien choisie (similitude)[>] Matrices de rang 1

Exercice 45 4525

Calculer le rang des matrices suivantes:

(a)

$(\begin{matrix} 1 & - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})$
(b)

$(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & - 1 \end{matrix})$
(c)

$(\begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ - 1 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - 1 & 0 & 1 \end{matrix})$ .

Exercice 46 1285 Correction

Calculer le rang de familles de vecteurs suivantes de $ℝ^{3}$ :

(a)

$(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ avec $x_{1} = (1,1,0), x_{2} = (1,0,1) et x_{3} = (0,1,1)$
(b)

$(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ avec $x_{1} = (2,1,1), x_{2} = (1,2,1) et x_{3} = (1,1,2)$
(c)

$(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ avec $x_{1} = (1,2,1), x_{2} = (1,0,3) et x_{3} = (1,1,2)$ .

Solution

(a)

$rg (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 3$ .
(b)

$rg (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 3$ .
(c)

$rg (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2$ .

Exercice 47 1286 Correction

Calculer le rang des applications linéaires suivantes:

(a)

$f : 𝕂^{3} \to 𝕂^{3}$ définie par

$f (x, y, z) = (- x + y + z, x - y + z, x + y - z) .$
(b)

$f : 𝕂^{3} \to 𝕂^{3}$ définie par

$f (x, y, z) = (x - y, y - z, z - x) .$
(c)

$f : 𝕂^{4} \to 𝕂^{4}$ définie par

$f (x, y, z, t) = (x + y - t, x + z + 2 t,2 x + y - z + t, - x + 2 y + z) .$

Solution

(a)

$rg (f) = 3$
(b)

$rg (f) = 2$
(c)

$rg (f) = 4$ .

Exercice 48 2533 CCINP (MP)Correction

Soient $u, v : ℝ_{n} [X] \to ℝ_{n} [X]$ définies par

u (P) = P (X + 1) et v (P) = P (X - 1) .

(a)

Calculer $rg (u - v)$ en utilisant sa matrice.
(b)

Retrouver ce résultat d’une autre manière.

Solution

(a)

Dans la base canonique, la matrice de $u - v$ est de la forme

$(\begin{matrix} 0 & 2 & * \\ 0 & ⋱ \\ ⋱ & 2 n \\ 0 & 0 \end{matrix})$

donc

$rg (u - v) = (n + 1) - 1 = n .$
(b)

On peut aussi étudier le noyau de $u - v$ et par un argument de périodicité justifier que seuls les polynômes constants sont éléments de ce noyau.

Exercice 49 4541

Calculer le rang des matrices suivantes en fonction des paramètres réels $a$ , $b$ et $c$ :

(a)

$A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ b + c & c + a & a + b \\ b c & c a & a b \end{matrix})$
(b)

$B = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^{3} & b^{3} & c^{3} \end{matrix})$ .

Exercice 50 1287 Correction

Calculer le rang des matrices suivantes en fonction des paramètres:

(a)

$(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ b + c & c + a & a + b \\ b c & c a & a b \end{matrix})$
(b)

$(\begin{matrix} 1 & \cos (θ) & \cos (2 θ) \\ \cos (θ) & \cos (2 θ) & \cos (3 θ) \\ \cos (2 θ) & \cos (3 θ) & \cos (4 θ) \end{matrix})$
(c)

$(\begin{matrix} a & b & (0) \\ ⋱ & ⋱ \\ (0) & ⋱ & b \\ b & (0) & a \end{matrix})$

Solution

(a)

Notons $A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ b + c & c + a & a + b \\ b c & c a & a b \end{matrix})$ ,

$rg (A) = rg (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a - b & a - c \\ 0 & c (a - b) & b (a - c) \end{matrix}) = rg (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a - b & a - c \\ 0 & 0 & (b - c) (a - c) \end{matrix}) .$

En discutant les 5 cas possibles: $rg (A) = Card ({a, b, c})$ .

(b)

Notons $A = (\begin{matrix} 1 & \cos (θ) & \cos (2 θ) \\ \cos (θ) & \cos (2 θ) & \cos (3 θ) \\ \cos (2 θ) & \cos (3 θ) & \cos (4 θ) \end{matrix})$ .

rg (A) = rg (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ \cos (θ) & \sin^{2} (θ) & \sin (θ) \sin (2 θ) \\ \cos (2 θ) & \sin (θ) \sin (2 θ) & \sin^{2} (2 θ) \end{matrix}) .

Si $\sin (θ) = 0$ alors $rg (A) = 1$ .
Si $\sin (θ) \neq 0$ alors

rg (A) = rg (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ \cos (θ) & \sin^{2} (θ) & 2 \cos (θ) \times \sin^{2} (θ) \\ \cos (2 θ) & \sin (θ) \sin (2 θ) & 2 \cos (θ) \times \sin (θ) \sin (2 θ) \end{matrix}) = rg (\begin{matrix} 1 & 0 \\ \cos (θ) & \sin^{2} (θ) \\ \cos (2 θ) & \sin (θ) \sin (2 θ) \end{matrix}) = 2 .

Résumons: Si $θ \neq 0 [π]$ , $rg (A) = 2$ , sinon $rg (A) = 1$ .

(c)

Notons $A$ la matrice étudiée.
Cas: $a = b = 0$ . $rg (A) = 0$ car la matrice $A$ est nulle.

Cas: $a = 0$ et $b \neq 0$ . $rg (A) = n$ car les $n$ colonnes de $A$ sont indépendantes.

Cas: $a \neq 0$ . En effectuant successivement $C_{2} \leftarrow a C_{2} - b C_{1}, C_{3} \leftarrow a^{2} C_{3} - b C_{2}, \dots, C_{n} \leftarrow a^{n - 1} C_{n} - b C_{n - 1}$ , on obtient

$rg (A) = (\begin{matrix} a \\ ⋱ \\ a \\ a^{n} - {(- 1)}^{n} b^{n} \end{matrix})$

(il y a conservation du rang car $a \neq 0$ ).

Donc, si $a^{n} = {(- b)}^{n}$ alors $rg (A) = n - 1$ , sinon $rg (A) = n$ .

Exercice 51 1292

Soit $m \in ℝ$ . Donner la dimension des sous-espaces vectoriels de $ℝ^{3}$ suivants:

(a)

$F = {(x, y, z) \in ℝ^{3} | x + m y + z = 0 et m x + y + z = 0}$ .
(b)

$G = {(x, y, z) \in ℝ^{3} | m x + y + z = x + m y + z = x + y + m z = 0}$ .

Exercice 52 1293 Correction

On considère, pour $m$ paramètre réel, les sous-espaces vectoriels de $ℝ^{3}$ :

F = {(x, y, z) \in ℝ^{3} | x + m y + z = 0 et m x + y - m z = 0}

G = {(x, y, z) \in ℝ^{3} | x - m y + z = 0} .

(a)

Déterminer la dimension de $F$ et $G$ .
(b)

Discuter, selon la valeur de $m$ , la dimension du sous-espace vectoriel $F \cap G$ .

Solution

(a)

$rg (\begin{matrix} 1 & m & 1 \\ m & 1 & - m \end{matrix}) = 2$

donc $dim F = 1$ et $rg (\begin{matrix} 1 & - m & 1 \end{matrix}) = 1$ donc $dim G = 2$ .
(b)

$rg (\begin{matrix} 1 & m & 1 \\ m & 1 & - m \\ 1 & - m & 1 \end{matrix}) = {\begin{matrix} 2 & si m = 0 \\ 3 & sinon \end{matrix}$

donc

$dim (F \cap G) = {\begin{matrix} 1 & si m = 0 \\ 0 & sinon. \end{matrix}$

Exercice 53 1289 Correction

Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées d’ordre $3$ telles que $A B = O_{3}$ .

Montrer que l’une au moins de ces matrices est de rang inférieur ou égal à $1$ .

Solution

Soient $u$ et $v$ les endomorphismes de $ℝ^{3}$ canoniquement associés à $A$ et $B$ .

Comme $u \circ v = 0$ , on a $Im (v) \subset Ker (u)$ , puis $rg (v) = 3 - dim Ker (v) \leq dim Ker (u)$ .
Par suite, $dim Ker (u) + dim Ker (v) \geq 3$ , puis $dim Ker (u) \geq 2 ou dim Ker (v) \geq 2$ .
On a alors respectivement $rg (u) = rg (A) \leq 1$ ou $rg (v) = rg (B) \leq 1$ .

Exercice 54 4542

Soient $A \in ℳ_{3,2} (ℝ)$ et $B \in ℳ_{2,3} (ℝ)$ deux matrices vérifiant

A B = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .

Déterminer les rangs de $A$ et $B$ et calculer $B A$ .

Exercice 55 699 Correction

Soient $A \in ℳ_{3,2} (ℝ)$ et $B \in ℳ_{2,3} (ℝ)$ matrices de rang 2 vérifiant ${(A B)}^{2} = A B$ .
Montrer $B A = I_{2}$ .

Solution

On a $A (B A - I_{2}) B = 0$ .
Or puisque $A$ est de rang 2, $Ker (A) = {0}$ et donc $(B A - I_{2}) B = 0$ .
De plus, puisque $B$ est de rang 2, $Im (B) = ℳ_{2} (ℝ)$ et donc $B A - I_{2} = 0$ .

Exercice 56 710 Correction

Soit $G$ un groupe multiplicatif formé d’éléments de $ℳ_{n} (ℝ)$ .

Montrer que les éléments de $G$ ont tous le même rang.

Solution

Commençons par noter que le neutre multiplicatif de $G$ n’est pas nécessairement $I_{n}$ . Par exemple, $G = {O_{n}}$ est un groupe multiplicatif formé d’éléments de $ℳ_{n} (ℝ)$ .
Notons $J$ le neutre du groupe $G$ . Soit $A \in G$ .

D’une part, $J A = A$ donc $rg (A) = rg (J A) \leq rg (J)$ .

D’autre part, il existe $B \in M_{n} (ℝ)$ tel que $A B = J$ donc $rg (J) = rg (A B) \leq rg (A)$ .

Finalement,

\forall A \in G, rg (A) = rg (J) .

On peut même être plus précis et constater que les matrices de $A$ ont toutes la même image.

Exercice 57 3032 X (MP)Correction

Soit $f : ℳ_{n} (ℂ) \to ℂ$ non constante telle que:

\forall (A, B) \in ℳ_{n} {(ℂ)}^{2}, f (A B) = f (A) f (B) .

Pour $A \in ℳ_{n} (ℂ)$ , prouver l’équivalence:

A \in {GL}_{n} (ℂ) \Leftrightarrow f (A) \neq 0 .

Solution

Commençons par déterminer $f (I_{n})$ et $f (O_{n})$ .
On a $f (I_{n}) = f (I_{n}^{2}) = f {(I_{n})}^{2}$ donc $f (I_{n}) = 0$ ou 1.
Si $f (I_{n}) = 0$ alors pour tout $A \in ℳ_{n} (ℂ)$ , $f (A) = f (A \times I_{n}) = f (A) \times f (I_{n}) = 0$ et donc $f$ est constante ce qui est exclu. Ainsi, $f (I_{n}) = 1$ .
Aussi $f (O_{n}) = f (O_{n}^{2}) = f (O_{n}) \times f (O_{n})$ donc $f (O_{n}) = 0$ ou 1.
Si $f (O_{n}) = 1$ alors pour tout $A \in ℳ_{n} (ℂ)$ , $f (A) = f (O_{n}) \times f (A) = f (O_{n} \times A) = f (O_{n}) = 1$ et donc $f$ est constante ce qui est exclu. Ainsi, $f (O_{n}) = 0$ .
Si $A$ est inversible alors $f (I_{n}) = f (A \times A^{- 1})$ donne $f (A) \times f (A^{- 1}) = 1$ et donc $f (A) \neq 0$ .
La réciproque est plus délicate.
Supposons $A$ non inversible et posons $r = rg (A)$ .
La matrice $A$ est équivalente à la matrice

J_{r} = (\begin{matrix} I_{r} & O_{r, n - r} \\ O_{n - r, r} & O_{n - r} \end{matrix})

ce qui permet d’écrire $A = Q J_{r} P$ avec $P, Q$ inversibles. On a alors $f (A) = f (Q) f (J_{r}) f (P)$ et il suffit de montrer $f (J_{r}) = 0$ pour conclure.
Par permutation des vecteurs de bases, la matrice $J_{r}$ est semblable à toute matrice diagonale où figure $r$ coefficients 1 et $n - r$ coefficients 0. En positionnant, pertinemment les coefficients 0, on peut former des matrices $A_{1}, \dots, A_{p}$ toutes semblables à $J_{r}$ vérifiant

A_{1} \dots A_{p} = O_{n} .

On a alors

f (A_{1}) \dots f (A_{p}) = 0 .

Or il est facile d’établir que si deux matrices sont semblables, la fonction $f$ prend les mêmes valeurs sur celles-ci. Par suite, $f (J_{r}) = f (A_{1}) = \dots = f (A_{p})$ et ainsi $f {(J_{r})}^{p} = 0$ puis enfin $f (J_{r}) = 0$ .

Exercice 58 5349 MINES (MP)Correction

Soit $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ .

Montrer que la matrice $M$ est inversible ou nulle si, et seulement si, $rg (A M) = rg (M A)$ pour toute matrice $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ .

Solution

$(⟹)$ Si $M$ est inversible alors, pour toute matrice $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ , $rg (A M) = rg (A)$ et $rg (M A) = rg (A)$ car on ne modifie pas le rang d’une matrice en multipliant par une matrice inversible. On en déduit $rg (A M) = rg (M A)$ . Si $M$ est la matrice nulle alors $rg (A M) = rg (M A) = 0$ pour toute matrice $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ .

$(⟸)$ Supposons $rg (A M) = rg (M A)$ pour toute matrice $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ . Si la matrice $M$ n’est pas inversible, il existe une colonne $X$ non nulle telle que $M X = 0$ . Pour toute colonne $Y$ , on considère alors $A = X Y^{⊤} \in ℳ_{n} (ℝ)$ et l’on a

rg (M A) = rg (M X Y^{⊤}) = 0 donc rg (X Y^{⊤} M) = 0 .

Puisque la colonne $X$ n’est pas nulle, nécessairement la ligne $Y^{⊤} M$ doit être nulle. Cela entraîne $M^{⊤} Y = 0$ pour toute colonne $Y$ et donc $M^{⊤} = 0$ . Ainsi, si la matrice $M$ n’est pas inversible, c’est la matrice nulle.

Proposons une démarche alternative.

Posons $r \in ⟦ 0; n ⟧$ le rang $M$ . On peut écrire $M = Q J_{r} P$ avec $P, Q \in {GL}_{n} (ℝ)$ et $J_{r}$ la matrice canonique de rang $r$ de $ℳ_{n} (ℝ)$ . L’égalité $rg (A M) = rg (M A)$ entraîne $rg (A Q J_{r}) = rg (J_{r} P A)$ et donc $rg (P A Q J r) = rg (J_{r} P A Q)$ car on ne modifie pas le rang en multipliant par une matrice inversible. L’application $A \mapsto P A Q$ étant bijective de $ℳ_{n} (ℝ)$ vers $ℳ_{n} (ℝ)$ , on obtient $rg (J_{r} B) = rg (B J_{r})$ pour toute matrice $B$ de $ℳ_{n} (ℝ)$ . Par l’absurde, si $r \in ⟦ 1; n - 1 ⟧$ , considérons $B$ la matrice dont les $r$ premières lignes sont nulles et les suivantes constituées de coefficients tous égaux à $1$ . Le produit $J_{r} B$ est nul alors que $B J_{r}$ ne l’est pas. C’est absurde.

[<] Rang d'une matrice[>] Matrices équivalentes

Exercice 59 701

Soit $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ une matrice de rang $1$ .

(a)

Établir l’existence de deux colonnes $X, Y \in ℳ_{n,1} (𝕂)$ vérifiant $A = Y X^{⊤}$ .
(b)

En déduire l’existence de $λ \in 𝕂$ tel que $A^{2} = λ A$ .

Exercice 60 700 Correction

Soit $A$ une matrice carrée de rang $1$ .

Montrer qu’il existe $λ \in 𝕂$ tel que $A^{2} = λ A$ .

Solution

Il existe une colonne $X$ telle que $A X \neq 0$ car $A$ n’est pas la matrice nulle.

On a alors $Im (A) = Vect (A X)$ .

Or $A^{2} X \in Im (A)$ et il existe donc $λ \in 𝕂$ tel que $A^{2} X = λ A X$ .

De plus, pour $Y \in Ker (A)$ , $A^{2} Y = 0 = λ A Y$ .

Enfin, les espaces $Ker (A)$ et $Vect (X)$ sont supplémentaires dans $ℳ_{n, 1} (𝕂)$ donc $A^{2} = λ A$ .

Exercice 61 4974 MINES (PC)

Soient $(X_{1}, \dots, X_{n})$ et $(Y_{1}, \dots, Y_{n})$ deux familles libres d’éléments de $ℳ_{n,1} (ℝ)$ .

Établir que la famille ${(X_{i} Y_{j}^{⊤})}_{1 \leq i, j \leq n}$ est une base de $ℳ_{n} (ℝ)$ constituée de matrices de rang $1$ .

Exercice 62 3460 Correction

Soit $H \in ℳ_{n} (ℂ)$ une matrice de rang $1$ .

(a)

Montrer qu’il existe des matrices $U, V \in ℳ_{n,1} (𝕂)$ telles que $H = U V^{⊤}$ .
(b)

En déduire

$H^{2} = tr (H) H .$
(c)

On suppose $tr (H) \neq - 1$ . Montrer que $I_{n} + H$ est inversible et

${(I_{n} + H)}^{- 1} = I_{n} - \frac{1}{1 + tr (H)} H .$
(d)

Soient $A \in {GL}_{n} (𝕂)$ telle que $tr (H A^{- 1}) \neq - 1$ . Montrer que $A + H$ est inversible et

${(A + H)}^{- 1} = A^{- 1} - \frac{1}{1 + tr (H A^{- 1})} A^{- 1} H A^{- 1} .$

Solution

(a)

Soit $U$ une colonne non nulle de l’image de $H$ .
Pour tout $1 \leq j \leq p$ , la colonne $C_{j}$ de $H$ peut s’écrire $C_{j} = λ_{j} U$ avec $λ_{j} \in 𝕂$ .
La matrice colonne $V = {(\begin{matrix} λ_{1} & \dots & λ_{n} \end{matrix})}^{⊤}$ vérifie alors $H = U V^{⊤}$ .
(b)

On a alors $H^{2} = U (V^{⊤} U) V^{⊤}$ avec $λ = V^{⊤} U$ un scalaire donc $H^{2} = λ H$ et

$λ = V^{⊤} U = tr (V^{⊤} U) = tr (U V^{⊤}) = tr (H) .$
(c)

En développant

$(I_{n} + H) (I_{n} - \frac{1}{1 + tr (H)} H) = I_{n} + H - \frac{1}{1 + tr (H)} H - \frac{1}{1 + tr (H)} H^{2} = I_{n} .$

Par le théorème d’inversibilité des matrices, on obtient $I_{n} + H$ est inversible et

${(I_{n} + H)}^{- 1} = I_{n} - \frac{1}{1 + tr (H)} H .$
(d)

On a $rg (H A^{- 1}) = rg (H) = 1$ car on ne modifie pas le rang en multipliant par une matrice inversible.
On en déduit que $I_{n} + H A^{- 1}$ est inversible et

${(I_{n} + H A^{- 1})}^{- 1} = I_{n} - \frac{1}{1 + tr (H A^{- 1})} H A^{- 1} .$

En multipliant par la matrice inversible $A$ , on obtient $A + H = (I_{n} + H A^{- 1}) A$ inversible et

${(A + H)}^{- 1} = A^{- 1} {(I_{n} + H A^{- 1})}^{- 1} = A_{n}^{- 1} - \frac{1}{1 + tr (H A^{- 1})} A^{- 1} H A^{- 1} .$

[<] Matrices de rang 1[>] Trace

Exercice 63 4963 Correction

Soit $A \in ℳ_{n, p} (ℝ)$ . Existe-t-il une matrice $M \in ℳ_{p, n} (ℝ)$ vérifiant $A = A M A$ ?

Solution

Soit $r = rg (A)$ . On peut écrire $A = Q J_{r} P$ avec $P, Q$ inversibles et $J_{r}$ matrice canonique de rang $r$ de type $(n, p)$ . Considérons alors $M = P^{- 1} J_{r}^{'} Q^{- 1}$ avec $J_{r}^{'}$ matrice canonique de rang $r$ de type $(p, n)$ . Puisque $J_{r} J_{r}^{'} J_{r} = J_{r}$ , on obtient par simple calcul $A M A = A$ .

Exercice 64 703 Correction

(a)

Montrer qu’une matrice $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ est non inversible si, et seulement si, elle est équivalente à une matrice nilpotente.
(b)

Soit $f : ℳ_{n} (𝕂) \to 𝕂$ une application vérifiant: $f (O_{n}) = 0$ , $f (I_{n}) \neq 0$ et pour tous $A, B \in ℳ_{n} (𝕂)$ ,

$f (A B) = f (A) f (B) .$

Montrer que $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ est inversible si, et seulement si, $f (A) \neq 0$ .

Solution

(a)

Si $A$ n’est pas inversible alors $rg (A) < n$ . Or il est possible de construire une matrice nilpotente de rang égal à $rg (A)$ . Deux matrices étant équivalentes si, et seulement si, elles ont le même rang, on peut conclure que $A$ est équivalente à une matrice nilpotente. La réciproque est immédiate.
(b)

Si $A$ est inversible alors $f (A) f (A^{- 1}) = f (I_{n}) = 1$ donc $f (A) \neq 0$ . Si $A$ n’est pas inversible alors $A$ est équivalente à une matrice nilpotente $B$ . Pour celle-ci, on a $f (B) = 0$ car $f (B^{n}) = f {(B)}^{n}$ . Puisque l’on peut écrire $A = P B Q$ avec $P$ et $Q$ inversibles, on peut conclure $f (A) = 0$ .

[<] Matrices équivalentes[>] Trace d'une projection

Exercice 65 4216

Soient $A \in ℳ_{n, p} (𝕂)$ et $B \in ℳ_{p, n} (𝕂)$ . Établir $tr (A B) = tr (B A)$ .

Exercice 66 5121

(a)

Existe-t-il des matrices $A, B \in ℳ_{n} (𝕂)$ telles que $A B - B A = I_{n}$ ?
(b)

On suppose que $A, B \in ℳ_{n} (𝕂)$ vérifient ${(A B - B A)}^{2} = A B - B A$ . Montrer que $A$ et $B$ commutent.

Exercice 67 3259

Soient $A$ et $B$ deux matrices de $ℳ_{n} (𝕂)$ vérifiant $A B - B A = A$ .

Calculer $tr (A^{p})$ pour tout $p \in ℕ^{*}$ .

Exercice 68 5891 Correction

(a)

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant $tr (A A^{⊤}) = 0$ . Montrer que $A$ est la matrice nulle.
(b)

Soient $A, B \in ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant

$\forall X \in ℳ_{n} (ℝ), tr (A X) = tr (B X) .$

Que dire des matrices $A$ et $B$ ?

Solution

(a)

Notons $a_{i, j}$ le coefficient d’indice $(i, j)$ de la matrice $A$ . Le coefficient d’indice $(i, i)$ de $A A^{⊤}$ est

${[A A^{⊤}]}_{i, j} = \sum_{j = 1}^{n} [A_{i, j}] {[A^{⊤}]}_{i, j} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i, j}^{2}$

et donc

$tr (A A^{⊤}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i, j}^{2} = 0 .$

Par nullité d’une somme de termes tous positifs, on obtient $a_{i, j} = 0$ pour tous $i, j = 1, \dots, n$ et donc $A = O_{n}$ .
(b)

Par différence

$\forall X \in ℳ_{n} (ℝ), tr ((A - B) X) = 0 .$

Cela vaut en particulier pour $X = {(A - B)}^{⊤}$ et donc $A - B = O_{n}$ . On en déduit $A = B$ .

Exercice 69 731 Correction

Soit $φ$ une forme linéaire sur l’espace $ℳ_{n} (𝕂)$ .

Montrer qu’il existe une matrice $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ telle que pour tout $M \in ℳ_{n} (𝕂)$ , $φ (M) = tr (A M)$ .

Solution

Posons $a_{j, i} = φ (E_{i, j}) \in 𝕂$ . On peut écrire

M = \sum_{1 \leq i, j \leq n} m_{i, j} E_{i, j}

Par linéarité

φ (M) = \sum_{1 \leq i, j \leq n} a_{j, i} m_{i, j} = tr (A M)

avec $A = (a_{i, j}) \in ℳ_{n} (𝕂)$ .

Exercice 70 729 Correction

Soit $f$ un endomorphisme de rang $1$ d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ de dimension $n \geq 1$ . Montrer

f^{2} = tr (f) f .

Solution

Méthode: On figure l’endomorphisme $f$ dans une base adaptée à son noyau.

Par la formule du rang,

dim Ker (f) = dim E - rg (f) = n - 1 .

Soit $(e_{1}, \dots, e_{n - 1})$ une base de $Ker (f)$ complétée en $ℬ = (e_{1}, \dots, e_{n - 1}, e_{n})$ base de $E$ . Les premiers vecteurs de cette base annulant $f$ , la matrice de $f$ dans $ℬ$ est de la forme

M = (\begin{matrix} 0 & \dots & 0 & α_{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & α_{n} \end{matrix}) .

Par produit matriciel, on vérifie $M^{2} = α_{n} M$ et donc $f^{2} = α_{n} . f$ avec $α_{n} = tr (M) = tr (f)$ .

Exercice 71 2547 CCINP (MP)Correction

Soit $E$ un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension finie $n > 1$ .
Montrer que $f \in ℒ (E)$ de rang 1 n’est pas forcément un projecteur.
Montrer que $f \in ℒ (E)$ de rang 1 et de trace 1 est un projecteur.
Trouver une base de $ℒ (E)$ constituée de projecteurs.

Solution

Soit $(e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ avec $e_{1}, \dots, e_{n - 1} \in Ker (f)$ .
La matrice de $f$ dans cette base est de la forme

A = (\begin{matrix} 0 & \dots & 0 & λ_{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & λ_{n - 1} \\ 0 & \dots & 0 & λ_{n} \end{matrix})

avec $λ_{n} = tr (f)$ .
On observe alors que $A^{2} = λ_{n} A$ .
Ainsi si $tr (f) = 1$ alors $A^{2} = A$ donc $f^{2} = f$ puis $f$ est un projecteur.
Par l’isomorphisme de représentation matricielle dans une base donnée de $E$ , on peut retraduire le problème matriciellement.
En considérant les éléments $E_{i, i}$ et $E_{i, i} + E_{i, j}$ pour $1 \leq i \neq j \leq n$ on forme une base de $ℳ_{n} (ℝ)$ telle que souhaitée.

Exercice 72 4976 X (PC)Correction

À quelle condition existe-t-il des matrices $A, B \in ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant ${(A B - B A)}^{2} = I_{n}$ ?

Solution

Supposons que de telles matrices existent et posons $M = A B - B A$ . D’une part

tr (M) = tr (A B) - tr (B A) = 0

et d’autre part $M^{2} = I_{n}$ et $M$ est donc la matrice d’une symétrie, semblable à

(\begin{matrix} I_{p} & 0 \\ 0 & I_{q} \end{matrix}) avec p = dim Ker (M - I_{n}) et q = dim Ker (M + I_{s}) .

On a donc

p - q = 0

et l’entier $n = p + q$ est nécessairement pair.

Inversement, si $n$ est pair, on écrit $n = 2 p$ et les matrices $A$ et $B$ suivantes sont solutions

A = (\begin{matrix} 0 & I_{p} \\ 0 & 0 \end{matrix}) et B = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ I_{p} & 0 \end{matrix}) .

En résumé, de telles matrices $A$ et $B$ existent si, et seulement si, $n$ est un entier pair.

Exercice 73 732

Soit $T$ une forme linéaire sur $ℳ_{n} (𝕂)$ vérifiant $T (A B) = T (B A)$ pour toutes matrices $A$ et $B$ de $ℳ_{n} (𝕂)$ . Établir que $T$ est colinéaire à la forme linéaire trace.

Exercice 74 2686 MINES (MP)Correction

(a)

Soit $f$ une forme linéaire sur $ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant

$\forall A, B \in ℳ_{n} (ℝ), f (A B) = f (B A) .$

Montrer que $f$ est proportionnelle à la trace.
(b)

Application : Soit $g$ un endomorphisme de l’espace vectoriel $ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant

$\forall A, B \in ℳ_{n} (ℝ), g (A B) = g (B A) et g (I_{n}) = I_{n} .$

Montrer que $g$ conserve la trace:

$\forall M \in ℳ_{n} (ℝ), tr (g (M)) = tr (M)$

Solution

(a)

Notons $E_{i, j}$ les matrices élémentaires de $ℳ_{n} (ℝ)$ . Puisque

$E_{i, i} = E_{i, j} E_{j, i} et E_{j, j} = E_{j, i} E_{i, j}$

l’hypothèse de travail donne

$f (E_{i, i}) = f (E_{i, j} E_{j, i}) = f (E_{j, i} E_{i, j}) = f (E_{j, j}) .$

De plus, pour $i \neq j$ , on a

$E_{i, j} = E_{i, j} E_{j, j} et O_{n} = E_{j, j} E_{i, j}$

donc

$f (E_{i, j}) = f (E_{i, j} E_{j, j}) = f (E_{j, j} E_{i, j}) = f (O_{n}) = 0 .$

Ainsi, par linéarité

$f (A) = f (\sum_{1 \leq i, j \leq n} a_{i, j} E_{i, j}) = \sum_{1 \leq i, j \leq n} a_{i, j} f (E_{i, j}) = λ \sum_{i = 1}^{n} a_{i, i} = λ tr (A)$

en notant $λ$ la valeur commune des $f (E_{i, i})$ .
(b)

Posons $f = tr \circ g$ . L’application $f$ est une forme linéaire vérifiant

$\forall A, B \in ℳ_{n} (ℝ), f (A B) = f (B A) .$

Ainsi $f = λ tr$ .
Or $f (I_{n}) = tr (g (I_{n})) = tr (I_{n})$ donc $λ = 1$ . Ainsi $f = tr$ et

$\forall M \in ℳ_{n} (ℝ), tr (g (M)) = f (M) = tr (M) .$

Exercice 75 4544

Soit $n$ un entier supérieur à $2$ .

(a)

Soit $φ$ une forme linéaire sur $ℳ_{n} (ℝ)$ . Montrer qu’il existe une unique matrice $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ telle que $φ (M) = tr (A M)$ pour toute matrice $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ .
(b)

En déduire que tout hyperplan de $ℳ_{n} (ℝ)$ contient une matrice inversible.

Exercice 76 3029 Correction

Soient $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ et $φ$ l’endomorphisme de $ℳ_{n} (ℝ)$ défini par

φ (M) = M A .

Exprimer la trace de $φ$ en fonction de celle de $A$ .

Solution

Calculons les coefficients diagonaux de la représentation matricielle de $φ$ dans la base canonique formée des matrices élémentaires $E_{i, j}$ .
On a $φ (E_{i, j}) = E_{i, j} A$ .
Or $A = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{ℓ = 1}^{n} a_{k, ℓ} E_{k, ℓ}$ donc $φ (E_{i, j}) = \sum_{ℓ = 1}^{n} a_{j, ℓ} E_{i, ℓ}$ car $E_{i, j} E_{k, ℓ} = δ_{j, k} E_{i, ℓ}$ .
La composante de $φ (E_{i, j})$ selon $E_{i, j}$ vaut $a_{j, j}$ .
Par suite, la trace de $φ$ vaut $\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{j, j} = n tr (A)$ .

Exercice 77 4217

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ . Pour $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ , on pose $φ (M) = A M - M A$ .

(a)

Vérifier que $φ$ définit un endomorphisme de $ℳ_{n} (ℝ)$ .
(b)

Calculer la trace de $φ$ .

Exercice 78 3419 Correction

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ . Calculer la trace de l’endomorphisme $f \in ℳ_{n} (ℝ)$ donné par

f (M) = A M + M A .

Solution

La trace de $f$ est la somme des coefficients diagonaux de la matrice représentative de $f$ dans la base de $ℳ_{n} (ℝ)$ formée des matrices élémentaires $E_{i, j}$ . Puisque le coefficient d’indice $(i, j)$ de la matrice $f (E_{i, j})$ est $a_{i, i} + a_{j, j}$ , on obtient

tr (f) = \sum_{1 \leq i, j \leq n} (a_{i, i} + a_{j, j}) = 2 n tr (A) .

Exercice 79 711

Établir que $Vect {A B - B A | A, B \in ℳ_{n} (ℝ)}$ est un hyperplan de $ℳ_{n} (ℝ)$ .

[<] Trace

Exercice 80 5116

Soit $p$ une projection d’un espace vectoriel $E$ de dimension $n ⩾ 1$ .

Montrer $tr (p) = rg (p)$ .

Exercice 81 2242 NAVALE (MP)Correction

Soient $E$ et $F$ deux $𝕂$ -espaces vectoriels de dimensions finies respectives $n$ et $p$ avec $n > p$ .
On considère $u \in ℒ (E, F)$ et $v \in ℒ (F, E)$ vérifiant

u \circ v = {Id}_{F} .

(a)

Montrer que $v \circ u$ est un projecteur.
(b)

Déterminer son rang, son image et son noyau.

Solution

(a)

${(v \circ u)}^{2} = v \circ {Id}_{F} \circ u = v \circ u$ donc $v \circ u$ est un projecteur.
(b)

Le rang d’un projecteur est égal à sa trace donc

$rg (v \circ u) = tr (v \circ u) = tr (u \circ v) = tr ({Id}_{F}) = p .$

On a

$Im (v \circ u) \subset Im (v) et dim Im (v \circ u) = rg (v \circ u) = p \geq rg (v) = dim Im (v) .$

On en déduit

$Im (v \circ u) = Im (v) .$

On a

$Ker (u) \subset Ker (v \circ u) et dim Ker (u) = n - rg (u) \geq n - p = n - rg (v \circ u) = dim Ker (v \circ u)$

donc

$Ker (v \circ u) = Ker (u) .$

Exercice 82 4527

Soient $p_{1}, \dots, p_{n}$ des projecteurs d’un espace $E$ de dimension finie.

Montrer que $p_{1} + \dots + p_{n}$ est un projecteur si, et seulement si, $p_{i} \circ p_{j} = 0$ pour tous $i$ et $j \in ⟦ 1; n ⟧$ tels que $i \neq j$ .

Exercice 83 3864 X (MP)Correction

Soient $A_{1}, \dots, A_{k} \in ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant

A_{1} + \dots + A_{k} = I_{n} et \forall 1 \leq i \leq k, A_{i}^{2} = A_{i} .

Montrer

\forall 1 \leq i \neq j \leq k, A_{i} A_{j} = O_{n} .

Solution

Les matrices $A_{i}$ sont des matrices de projection et donc

tr (A_{i}) = rg (A_{i}) .

On en déduit

\sum_{i = 1}^{k} rg (A_{i}) = \sum_{i = 1}^{k} tr (A_{i}) = tr (I_{n}) = n .

ℝ^{n} = Im (\sum_{i = 1}^{k} A_{i}) \subset \sum_{i = 1}^{k} Im (A_{i}) \subset ℝ^{n} .

Ainsi,

\sum_{i = 1}^{k} Im (A_{i}) = ℝ^{n}

et la relation sur les rangs donne

\sum_{i = 1}^{k} dim (Im (A_{i})) = dim ℝ^{n} .

Les espaces $Im (A_{i})$ sont donc en somme directe

\oplus_{i = 1}^{k} Im (A_{k}) = ℝ^{n} .

Pour tout $x \in ℝ^{n}$ , on peut écrire

x = A_{1} x + \dots + A_{k} x .

En particulier, pour le vecteur $A_{j} x$ , on obtient

A_{j} x = A_{1} A_{j} x + \dots + A_{j} x + \dots + A_{k} A_{j} x .

La somme directe précédente donne alors par unicité d’écriture

\forall 1 \leq i \neq j \leq k, A_{i} A_{j} x = 0

et peut alors conclure.

Exercice 84 5819 Correction

Soient $p_{1}, \dots, p_{m}$ des projecteurs d’un espace de dimension finie $E$ vérifiant

p_{1} + \dots + p_{m} = {Id}_{E} .

(a)

En employant la trace, établir

$dim E = rg (p_{1}) + \dots + rg (p_{m}) .$
(b)

En déduire que $E = Im (p_{1}) \oplus \dots \oplus Im (p_{m})$ .
(c)

Calculer $p_{i} \circ p_{j}$ pour $1 \leq i, j \leq m$ .

Solution

(a)

Lorsque $p$ est un projecteur, on sait $tr (p) = rg (p)$ . On a donc par linéarité de la trace

$dim E = tr ({Id}_{E}) = \sum_{k = 1}^{m} tr (p_{k}) = \sum_{k = 1}^{m} rg (p_{k}) .$
(b)

L’égalité qui précède donne

$dim E = \sum_{k = 1}^{m} dim Im (p_{k}) .$ (1)

Au surplus, l’égalité $p_{1} + \dots + p_{m} = {Id}_{E}$ donne

$\forall x \in E, x = p_{1} (x) + \dots + p_{m} (x) \in \sum_{k = 1}^{m} Im (p_{k})$

et donc

$E = \sum_{k = 1}^{m} Im (p_{k}) .$

Sachant (1), on obtient

$E = \oplus_{k = 1}^{m} Im (p_{k}) .$ (2)
(c)

Soient $1 \leq i, j \leq m$ . On sait $p_{i} \circ p_{j} = p_{i}$ lorsque $i = j$ car $p_{i}$ est un projecteur. Montrons $p_{i} \circ p_{j} = 0$ pour $i \neq j$ en observant $Im (p_{j}) \subset Ker (p_{i})$

Puisque $p_{i}$ est un projecteur, $Im (p_{i})$ et $Ker (p_{i})$ sont supplémentaires. Par ce qui précède, $Im (p_{i})$ et $\oplus_{k \neq i} Im (p_{k})$ sont aussi supplémentaires. On en déduit¹¹ 1 On n’a pas directement l’égalité car il n’y a pas unicité d’un supplémentaire.

$dim Ker (p_{i}) = dim \underset{1 \leq k \neq i \leq m}{\oplus} Im (p_{k}) .$

Pour $x \in Ker (p_{i})$ , l’égalité ${Id}_{E} = p_{1} + \dots + p_{m}$ donne

$x = \sum_{1 \leq k \neq i \leq n} p_{k} (x) \in \underset{1 \leq k \neq i \leq m}{\oplus} Im (p_{k}) .$

On a donc l’inclusion $Ker (p_{i}) \subset \oplus_{k \neq i} Im (p_{k})$ puis l’égalité par l’égalité des dimensions. En particulier, $Im (p_{j}) \subset Ker (p_{i})$ et donc $p_{j} \circ p_{i} = 0$ .

Exercice 85 219 Correction

Soient $E$ un $ℂ$ -espace vectoriel de dimension finie et $p_{1}, \dots, p_{m}$ des projecteurs de $E$ dont la somme vaut ${Id}_{E}$ . On note $F_{1}, \dots, F_{m}$ les images de $p_{1}, \dots, p_{m}$ . Montrer

E = \oplus_{k = 1}^{m} F_{k} .

Solution

Puisque $p_{1} + \dots + p_{m} = {Id}_{E}$ , on a pour tout $x \in E$ ,

x = p_{1} (x) + \dots + p_{m} (x) \in \sum_{k = 1}^{m} F_{k} .

Ainsi,

E \subset \sum_{k = 1}^{m} F_{k} .

De plus,

dim E = tr ({Id}_{E}) = \sum_{k = 1}^{m} tr (p_{k}) .

Or les $p_{k}$ sont des projecteurs, donc $tr (p_{k}) = rg (p_{k}) = dim F_{k}$ .
Ainsi,

dim E = \sum_{k = 1}^{m} dim F_{k} .

On peut alors conclure $E = \sum_{k = 1}^{m} F_{k}$ puis $E = \oplus_{k = 1}^{m} F_{k}$ .

Exercice 86 2651 MINES (MP)Correction

Soit $G$ un sous-groupe fini de ${GL}_{n} (ℝ)$ tel que $\sum_{g \in G} tr (g) = 0$ . Montrer que $\sum_{g \in G} g = 0$ .

Solution

Posons $p = \sum_{g \in G} g$ . On a

p^{2} = \sum_{g \in G} \sum_{h \in G} g h .

Or, pour $g \in G$ , l’application $h \mapsto g h$ est une permutation du groupe $G$ et donc

\sum_{h \in G} g h = p .

Par suite, $p^{2} = Card (G) p$ et $\frac{1}{Card (G)} p$ est une projection vectorielle. Puisque son rang égale sa trace, $rg (p) = 0$ . Ainsi, $p = 0$ .

Exercice 87 2388 CENTRALE (MP)Correction

Soient $𝕂 = ℝ$ ou $ℂ$ et $H$ une partie non vide et finie de ${GL}_{n} (𝕂)$ stable par multiplication.

(a)

Soit $M \in H$ . Montrer que $k \in ℕ^{*} \mapsto M^{k} \in H$ n’est pas injective.
En déduire que $H$ est un sous-groupe de ${GL}_{n} (𝕂)$ .
Soient

$q = Card (H) et P = \frac{1}{q} \sum_{M \in H} M .$
(b)

Montrer, si $M \in H$ , que $M P = P M = P$ . En déduire $P^{2} = P$ .
(c)

Trouver un supplémentaire, dans $ℳ_{n,1} (𝕂)$ , stable par tous les éléments de $H$ , de

$⋂_{M \in H} Ker (M - I_{n}) .$
(d)

Montrer que

$\sum_{M \in H} tr (M) \in q ℕ .$

Que dire si cette somme est nulle?

Solution

(a)

L’application considérée est au départ d’un ensemble infini et à valeurs dans un ensemble fini, elle ne peut donc être injective et il existe $k < ℓ \in ℕ$ , $M^{k} = M^{ℓ}$ ce qui fournit $M^{p} = I_{n}$ avec $p = ℓ - k$ car $M$ est inversible. On en déduit que $I_{n} \in H$ et que $M^{- 1} = M^{p - 1} \in H$ . Cela suffit pour conclure que $H$ est un sous-groupe de ${GL}_{n} (𝕂)$ .
(b)

Si $M \in H$ alors $N \mapsto M N$ et $N \mapsto N M$ sont des permutations de $H$ . On en déduit que $M P = P M = P$ car pour chaque terme les sommes portent sur les mêmes éléments.

$P^{2} = \frac{1}{q} \sum_{M \in H} M P = \frac{1}{q} \sum_{M \in H} P = P .$
(c)

Puisque $P^{2} = P$ , $Im (P) = Ker (P - I_{n})$ et $Ker (P)$ sont supplémentaires dans $ℳ_{n,1} (𝕂)$ .
Si $X \in Ker (P)$ alors $P X = 0$ et pour tout $M \in H$ , $P M X = P X = 0$ donc $M X \in Ker (P)$ . Ainsi $Ker (P)$ est stable par $H$ .
Si $X \in ⋂_{M \in H} Ker (M - I_{n})$ alors pour tout $M \in H$ , $M X = X$ donc $P X = X$ puis $X \in Ker (P - I_{n})$ .
Inversement, si $X \in Ker (P - I_{n})$ alors $P X = X$ et pour tout $M \in H$ , $X = P X = M P X = M X$ et donc $X \in ⋂_{M \in H} Ker (M - I_{n})$ . Ainsi,

$⋂_{M \in H} Ker (M - I_{n}) = Ker (P - I_{n})$

et $Ker (P)$ est solution du problème posé.
(d)

$P$ est une projection donc $tr (P) = rg (P) \in ℕ$ et donc $\sum_{M \in H} tr (M) = q tr (P) \in q ℕ$ .
Si $\sum_{M \in H} tr (M) = 0$ alors $P = 0$ . Par suite, $⋂_{M \in H} Ker (M - I_{n}) = {0}$ et il n’y a donc pas de vecteur non nul invariant pour tous les éléments de $H$ et inversement.

Exercice 88 3261 Correction

Soit $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ vérifiant $A^{p} = I_{n}$ (avec $p \in ℕ^{*}$ ). On pose

B = \frac{1}{p} \sum_{k = 0}^{p - 1} A^{k} .

(a)

Calculer $A B$ .
(b)

Vérifier $B^{2} = B$ .
(c)

En déduire

$dim Ker (A - I_{n}) = \frac{1}{p} \sum_{k = 0}^{p - 1} tr (A^{k}) .$

Solution

(a)

Puisque $A^{p} = I_{n}$ , on a

$A B = \frac{1}{p} \sum_{k = 0}^{p - 1} A^{k + 1} = \frac{1}{p} (A + \dots + A^{p - 1} + A^{p}) = \frac{1}{p} (I_{n} + A + \dots + A^{p - 1}) = B$
(b)

Par récurrence $A^{k} B = B$ pour tout $k \in ℕ$ . On en déduit

$B^{2} = \frac{1}{p} \sum_{k = 0}^{p - 1} A^{k} B = \frac{1}{p} \sum_{k = 0}^{p - 1} B = B$

et donc $B$ est la matrice d’un projecteur.
(c)

Par suite,

$rg (B) = tr (B) = \frac{1}{p} \sum_{k = 0}^{p - 1} tr (A^{k}) .$

Pour $X \in Ker (A - I_{n})$ , on a $A X = X$ donc $B X = X$ et ainsi $Ker (A - I_{n}) \subset Im (B)$ .
Inversement, si $Y \in Im (B)$ , il existe $X \in ℳ_{n,1} (𝕂)$ tel que $Y = B X$ et alors

$(A - I_{n}) Y = A B X - B X = B X - B X = 0$

donc $Im (B) \subset Ker (A - I_{n})$ puis $Im (B) = Ker (A - I_{n})$ . On peut alors conclure

$dim Ker (A - I_{n}) = rg (B) = \frac{1}{p} \sum_{k = 0}^{p - 1} tr (A^{k}) .$

Exercice 89 734 MINES (MP)

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $G$ un sous-groupe de $GL (E)$ de cardinal fini $n \in ℕ^{*}$ . Montrer

dim (⋂_{g \in G} Ker (g - {Id}_{E})) = \frac{1}{n} \sum_{g \in G} tr (g) .

Édité le 29-11-2025

	$\det (f_{a, b})$	$= (Re (a) + Re (b)) (Re (a) - Re (b)) - (Im (a) + Im (b)) (Im (b) - Im (a))$
		$= {\| a \|}^{2} - {\| b \|}^{2} .$

	$f = f_{a, b}$	$\Leftrightarrow (\begin{matrix} α & γ \\ β & δ \end{matrix}) = (\begin{matrix} Re (a) + Re (b) & Im (b) - Im (a) \\ Im (a) + Im (b) & Re (a) - Re (b) \end{matrix})$
		$\Leftrightarrow {\begin{matrix} Re (a) + Re (b) & = α \\ Im (b) - Im (a) & = β \\ Im (a) + Im (b) & = γ \\ Re (a) - Re (b) & = δ . \end{matrix}$

	$f (y)$	$= f (x) + f^{3} (x) = (f^{3} + f) (x) = 0$
	$(f^{2} + Id) (z)$	$= - f^{4} (x) - f^{2} (x) = - (f^{3} + f) (f (x)) = 0 .$